خلاصه

ما روش Schwinger را برای افزودن حرکت زاویه ای با استفاده از جبر SU (2) با یک نوسان ساز فرمیونی و بوزونیک در نظر می گیریم. ما نشان می دهیم که کل حالت های چرخش به دست آمده عبارتند از: یک حالت تک بوزون و تعداد خودسرانه ایالت های Spin-1/2 ، موارد بعدی انرژی انحطاط هستند. این بدان معنی است که ما در این حالت مکانیک کوانتومی متقارن و همچنین افزودن حرکت زاویه ای برای ذرات بدون جرم داریم. ما همچنین موارد دو نوسان ساز بوزونیک و دو فرمیونی را مرور می کنیم.

روش نوسان ساز Schwinger ، مکانیک کوانتومی متقارن و ذرات بدون جرم

F. M. Mejía 1 و V. Pleitez 2

1 Escuela de Física ، دانشکده de ciencias naturales y matemática

Universidad de el Salvador ، السالوادور

2 Instituto de Física Teórica ، Universidade Estadual Paulista

Rua Pamplona 145 ، 01405-900 ، سائوپائولو ، SP ، برزیل

دریافتی em 05 de Novembro 2001. Aceito em 11 de Dezembro ، 2001.

ما روش Schwinger را برای افزودن حرکت زاویه ای با استفاده از جبر SU (2) با یک نوسان ساز فرمیونی و بوزونیک در نظر می گیریم. ما نشان می دهیم که کل حالت های چرخش به دست آمده عبارتند از: یک حالت تک بوزون و تعداد خودسرانه ایالت های Spin-1/2 ، موارد بعدی انرژی انحطاط هستند. این بدان معنی است که ما در این حالت مکانیک کوانتومی متقارن و همچنین افزودن حرکت زاویه ای برای ذرات بدون جرم داریم. ما همچنین موارد دو نوسان ساز بوزونیک و دو فرمیونی را مرور می کنیم.

مقدمه

روش معمول برای تعریف حرکت زاویه ای در مکانیک کوانتومی با استفاده از روابط رفت و آمد که از اجزای آن راضی است_i، i = x ، y ، z ؛و با حل مشکل ویژه ای برای 2 و j_zبا فرض اینکه اجزای j_iمشاهده می شونداز این طریق ، مقادیر مجاز برای مقادیر ویژه 2 و j_zبه ترتیب ، J و M مشخص شده به دست می آیند. آنها بیش از مقادیر را اجرا می کنند: j = 0،1/2،1،3/2. و j £ m £ j [1]. در این حالت اپراتورهای حرکت زاویه ای j_iژنراتورهای بی نهایت برای SO هستند (3)~سو (2) جبر. رابطه بین چرخش و SU (2) تقارن در نظریه میدان نسبیتی حفظ می شود زیرا گروه کوچک برای ذرات عظیم فقط گروه چرخش است [2،3]. برای ذرات عظیم اسپین ، ما همیشه می توانیم به قاب استراحت برویم ، بنابراین درجه چرخش آنها از آزادی با توجه به نمایش (2 J + 1)- نمایشی از SU (2) تبدیل می شود ، یعنی ، ما 2 j + 1 قطبش داریمایالت ها.

در مورد ذرات بدون جرم، رفتن به قاب استراحت ممکن نیست، بنابراین چرخش دیگر توسط SU (2) توصیف نمی شود. در این مورد گروه کوچک ISO اقلیدسی (2) است که با E (2) نیز نشان داده می شود. این گروه شامل چرخش با زاویه f حول جهت z (با فرض این به عنوان جهت حرکت) و ترجمه در صفحه اقلیدسی عمود بر محور z است. نمایش های تقلیل ناپذیر آن یا باید ترجمه را با صفر نشان دهند یا بی بعد باشند. اگر c بردار ویژه مولدهای ترجمه باشد، c نیز بردار ویژه ای خواهد بود که با زاویه f می چرخد. در فیزیک، به جز تکانه، جایی برای عدد کوانتومی پیوسته دیگر وجود ندارد، بنابراین ذرات فیزیکی بدون جرم تنها با اولین نوع نمایش (یعنی موارد بی اهمیت) مطابقت دارند [3]. این فقط جی_zبه عنوان عملگر تقارن، بنابراین نمایش های فیزیکی E (2) یک بعدی هستند و با مارپیچ مشخص می شوند. جی_z|ñ = |ñ. به همین دلیل است که حالت های قطبش یک ذره بدون جرم با اسپین j فقط j ± است. ما می توانیم این را با در نظر گرفتن دومین تغییر ناپذیر Casimir W m W ببینیم_m = x96 M 2 j ( j + 1) (the other is p 2 = M 2>0) که در آن W m شبه بردار پائولی-لوبانسکی است که به صورت تعریف شده است

با J n r و P s نشان دهنده مولدهای گروه پوانکاره است. ه_{چند دقیقه}نماد کاملاً ضد متقارن در چهار بعد است. از آنجایی که M 2 = 0 برای حالت چهار تکانه k داریم،

و از آنجایی که W m P_m= 0،

بنابراین، W m و P m متعامد و هر دو سبک هستند. این بدان معنی است که آنها باید متناسب باشند

و نتیجه داریم که حالت یک ذره بدون جرم با یک عدد مشخص می شود که نسبت Wm و Pm است و بنابراین دارای بعد حرکت زاویه ای است. همانطور که قبلاً گفتیم به آن هلیسیتی می گویند. اگر برابری گنجانده شود، مارپیچی دو مقدار و می گیرد. این واقعیت که l می تواند انتگرال یا نیمه انتگرال باشد به این دلیل است که e i 4 p باید واحد باشد و از این رو باید عدد صحیح یا نیمه صحیح باشد [3].

چندین سال پیش شوینگر ارتباطی بین جبر تکانه زاویه ای و دو نوسانگر بوزونی غیر جفت نشده ایجاد کرد [4]. طرح شوینگر امکان محاسبه مقادیر ویژه j و m را بر حسب تعداد عملگر نوسانگرهای غیر جفت شده فراهم می کند. نتایج با روش کلی برای ذرات عظیم که در بالا مورد بحث قرار گرفت مطابقت دارد. با این حال، مورد ذرات بدون جرم در طرح شوینگر مطرح نیست. بنابراین، روش باید تعمیم یابد. در این کار ما با در نظر گرفتن یک یا چند نوسانگر فرمیونی، اولین گام را برای تعمیم کامل تر برمی داریم.

طرح کلی این کار به شرح زیر است. روش Schwinger که از دو نوسان ساز بوزونیک (BB) تشکیل شده است ، در Sec. ii بررسی شده است. در مرحله بعد ، ما این طرح را با در نظر گرفتن i) دو اسیلاتور فرمیونیک (FF) در Sec. iii و ، ب) یک بوزونیک و یک نوسان ساز فرمیونیک (FB) در Sec. IVدر موارد آخر فقط چرخش صفر و چرخش 1/2 تولید می شود. در بخش آخر نشان می دهیم که در مورد BF ذرات چرخش 1/2 بی نهایت تخریب شده و مکانیک کوانتومی متقارن به طور طبیعی بوجود می آیند.

II دو اسیلاتور بوزونیک (BB)

در این بخش ما با در نظر گرفتن دو نوسان ساز ساده بوزونیک با اپراتورهای نابودی و ایجاد ، به طور خلاصه طرح Schwinger [4،5] را مرور خواهیم کرد_iو A ، I = 1،2 ، به ترتیب. تعداد اپراتورها (در طول این کار ما از 1) n استفاده خواهیم کرد_iº

ما همچنین فرض می کنیم که یک جفت دیگر از اپراتورها از همان نوسان ساز یا نوسانگرهای مختلف رفت و آمد می کنند. این بدان معناست که دو نوسان ساز بدون استفاده هستند. چون n₁و n₂رفت و آمد ، ما می توانیم به طور همزمان مجاهد وسیعی از n ایجاد کنیم₁و n₂با مقادیر ویژه n₁و n₂، به ترتیب.

این اپراتورها روابط جابجایی SU (2) را برآورده می کنند

تعریف کل اپراتور N (با مقادیر ویژه n₁ + n₂ )

نتیجه می گیرد که اپراتور درجه دوم کاسیمیر

می تواند به عنوان نوشته شود

اگر چرخش (M = 1/2) را با یک واحد کوانتومی N مرتبط کنیم₁نوسان ساز و چرخش (M = 1/2) با یک واحد کوانتومی N₂نوسان ساز ، می توان یک ذرات چرخش 1/2 را با چرخش به بالا (پایین) با هر واحد کوانتومی N تصور کرد₁(N₂) نوسان ساز. مقادیر ویژه n₁و n₂فقط تعداد چرخش به بالا و چرخش "ذرات" هستند. خواهیم دید که ارتباط چرخش نیمه انتهایی با نوسان سازهای بوزونیک ضروری است ، اگر می خواهیم یک عمومی بسازیم |J ، M ñ با J = 0،1/2،1،3/2،2. و j £ m £ j.

بازگشت به J_±اپراتورهای تعریف شده در معادلات.(ii) ، ما آن j را می بینیم₊یک واحد چرخش را با Z-component از زاویه 1/2 از بین می برد و یک واحد چرخش را با مؤلفه z از حرکت زاویه ای +1/2 ایجاد می کند. بنابراین ، z-z از حرکت زاویه ای به همین دلیل افزایش می یابد. به همین ترتیب J _ یک واحد چرخش را از بین می برد و یک واحد چرخش را به پایین ایجاد می کند ، بنابراین مؤلفه z از حرکت زاویه ای از این رو 1. کاهش می یابد._zاپراتور ، به سادگی 1/2 (= 1) برابر تفاوت بین n را شمارش می کند₁و n₂، فقط به Z-Z -Component از کل حرکت زاویه ای می دهد. از این رو ، عمل J_±و j_zاپراتورهای موجود در بخش ویژه |حرف₁، n₂as توسط

توجه کنید که ، جمع n₁+ n₂که تعداد کل ذرات چرخش 1/2 را بدون تغییر باقی می گذارد. اگر جایگزین کنیم

معادلات() به عوامل معمول کاهش دهید

و مقادیر ویژه ای از اپراتور درجه دوم Casimir

ارتباط بین عناصر ماتریس نوسان ساز و عناصر ماتریس حرکت زاویه ای را می توان با تعریف مشاهده کرد

به جای n₁و n₂برای توصیف ویژه همزمان 2 و j_zبشراز این رو ، عمومی ترین n₁، n₂Eigenket است

اگر j = m ما بزرگترین مقادیر ویژه برای j را داریم_z

بنابراین ما می توانیم تصور کنیم که این حالت از ذرات 2 j چرخش 1/2 با چرخش آنها ساخته شده است و همه در جهت گیری مثبت Z نشان می دهند. از این رو ، همانطور که قبلاً گفتیم ، در این طرح می توان یک شیء از j را که از چرخش بدوی 1/2 "ذرات" ساخته شده است ، تجسم کرد ، j + m آنها را با چرخش و j m باقی مانده از آنهابا چرخشاین البته به این معنی نیست که یک شیء از حرکت زاویه ای j یک سیستم کامپوزیت ذرات چرخش 1/2 است. این بدان معناست که ، تا آنجا که به خصوصیات تحول مربوط می شود ، می توانیم هر شیء از حرکت زاویه ای خودسرانه J را به عنوان یک سیستم کامپوزیت از ذرات 2 J چرخش 1/2 که به روشی که توسط Eq نشان داده شده است ، تجسم کنیم.(20). این روش مشهور نوسان ساز Schwinger است [5].

III دو نوسان ساز فرمیونیک (FF)

بگذارید دو اسیلاتور فرمیونی را با اپراتورهای نابودی و آفرینش در نظر بگیریم که توسط F مشخص شده است_iو f ، i = 1،2. سپس

و هر جفت دیگری از اپراتورها که در حال پیشگیری هستند. تعداد اپراتورها طبق معمول n تعریف می شوند_i= ff_من، من = 1 یا 2 ، و آنها راضی می کنند

با این حال ، از Eq.(22) به این نتیجه می رسد

بنابراین ، تنها مقادیر ویژه n_i، مشخص شده توسط n_i، 0 یا 1 هستند. تعداد کل اپراتور n =_iN_i، دارای مقادیر ویژه 0،1 یا 2 است.

همانطور که در مورد دو نوسان ساز بوزونیک ، ما می توانیم وسایل نقلیه همزمان N را بسازیم₁و n₂بشرمعادلات(21) معتبر هستند اما با تعویض a_i ® F_i، a® f و با محدودیت در n₁، n₂در بالا داده شده است. بنابراین مانند معادلات.(6) می توانیم تعریف کنیم

که ، همانطور که می توان به راحتی تأیید کرد ، روابط SU (2) در Eq را برآورده می کند.(7)از دیدگاه جبر SU (2) هر دو مورد ، دو اسیلاتور بوزونیک و دو نوسان ساز فرمیونی معادل هستند. علی رغم 2 ، در Eq تعریف شده است.(9) ، هنگامی که از نظر اپراتورهای شماره نوشته شده است ، به جای Eq.(10) توسط

از آنجا که مقادیر ویژه n₁و n₂ما فقط می توانیم مقادیر 0 یا 1 را فرض کنیم ، ما از Eq می بینیم.(27) که مقادیر ویژه مربوطه برای 2 0 و 3/4 هستند. اگر این مقادیر را به شکل j (j + 1) ، j ³ 0 تفسیر کنیم ، می بینیم که فقط j = 0 و j = 1/2 مجاز است. مقادیر ویژه j_zتعریف شده در Eq.(26) 0،1/2 ، 1/2 [6] هستند:

از این رو ، به نظر می رسد که با دو اسیلاتور فرمیونی می توانیم فقط یک چرخش 1/2 (F | 0،0ñ ، | F | 0،0ñ) و دو حالت Spin-0 (| 0،0ñ ، | 1 ، ایجاد کنیم. 1ñ). به عبارت دیگر ، اگرچه این سیستم همچنین روابط معمول رفت و آمد زاویه ای-مورنت را در Eq برآورده می کند.(7) ، فقط این دو مقدار برای کل زاویه ای-لحظه مجاز است. ما این وضعیت را تحقق محدود از جبر SU (2) می نامیم.

اگر چرخش (M = 1/2) را با یک واحد کوانتومی F مرتبط کنیم₁نوسان ساز و چرخش (M = 1/2) با یک واحد کوانتومی F₂نوسان ساز ، می توان تصور کرد که یک ذرات چرخش 1/2 "" با چرخش به بالا (پایین) با هر واحد کوانتومی F₁(f₂) نوسان ساز. همانطور که در Sec. II چرخش ها در امتداد Z-Direction و مقادیر ویژه N هستند₁و n₂به ترتیب فقط تعداد چرخش ها و چرخش ها به پایین هستند. با این حال ، در مورد فعلی اگر n₁= N₂= 0 چرخش کل نیز صفر است. اگر n₁= N₂= 1 هر دو چرخش در جهت مخالف قرار دارند و چرخش کل دوباره از بین می رود. از طرف دیگر ، اگر n₁= 1 ، n₂= 0 چرخش کل 1/2 و طرح ریزی روی z-axis 1/2 است. اگر n₁= 0 ، n₂= 1 چرخش کل دوباره 1/2 است اما پیش بینی آن در آن محور 1/2 است. با این حال ، توجه کنید که این پرونده نه با موارد عظیم و نه با موارد ذرات بدون جرم مطابقت ندارد. این می تواند برای هر دو نوع ذرات اعمال شود.

IV One Fermionic و One Bosonic (FB)

ما دیده ایم که هر دو ، علاوه بر حرکت زاویه ای معمول و طرح Schwinger برای مورد ذرات عظیم معتبر هستند [5]. با این حال ، مورد ذرات بدون جرم ، نه در رویکرد معمول و نه در طرح شووینجر بوجود نمی آید. بنابراین ، روش باید تعمیم یابد. در این کار ما با در نظر گرفتن یک نوسان ساز فرمیونی ، اولین قدم را برای به دست آوردن تعمیم کامل تر بردیم.

ویژگی جالب طرح شوینگر این است که به ما اجازه می دهد تا مقادیر وزن ها یا ریشه هایی را که در جبر SU (2) تحقق می یابد، بدست آوریم. برای مثال، در کار اصلی شوینگر، تمام نمایش های جبر SU (2) به وجود می آیند و دقیقاً همان طور که قبلاً گفتیم، با نظریه جمع حرکت زاویه ای برابری می کنند. با این حال، این نتیجه ماهیت بوزونی نوسانگرها است. با وجود این، زمانی که هر دو نوسان ساز فرمیونی هستند، اگرچه روابط جبری هنوز معتبر هستند، روش با اضافه کردن معمول تکانه زاویه ای منطبق نیست به این معنا که فقط مقادیر محدود برای مقادیر ویژه عملگر تکانه زاویه ای مجاز است: فقط دو حالت بدون چرخش ویک حالت اسپین 1/2 به دست می آید و بازیابی مجموعه کامل نمایش واحد SU (2) غیرممکن است. این نتیجه خصوصیت فرمیونی عملگرهایی است که با آنها تحقق جبر SU (2) [6] را اجرا می کنیم. از سوی دیگر، هنگامی که یکی از نوسانگرها بوزونی و دیگری فرمیونی است، جبر SU (2) معمولی هنوز تحقق می یابد، اما همچنین به معنای محدود. این موردی است که در اینجا بررسی خواهیم کرد.

اجازه دهید مورد دو نوسانگر را در نظر بگیریم، یکی از آنها یک نوسانگر بوزونی (a, a ) و دیگری یک نوسانگر فرمیونی (F, F ). این به آن معنا است

و هر جفت عملگر اگر هر دو عملگر بوزونی باشند یا اگر یکی از آنها عملگر بوزونی و دیگری عملگر فرمیونی باشد، جابجا می شود. اگر هر دوی آنها عملگر فرمیونی باشند، آنها ضد رفت و آمد هستند.

مانند قبل از نماد زیر استفاده می کنیم: عملگرهای اعداد با N نشان داده می شوند_B= a a، N_F= F F و N = N_B + N_F، با مقادیر ویژه n_B , n_Fو n = n_B + n_F، به ترتیب. بیایید تعریف کنیم

اگر ویژگی های همزمان N_Bو n_Fبا | نشان داده می شوندn_B , n_Fñ در صورت لزوم از رابطه بسته شدن å| استفاده می کنیمn_B , n_Fñ á n_B , n_F|= 1 تا به این نتیجه برسیم که وابسته به حالت نیست. برای مثال

و به طور مشابه برای (N_B+ 1) 1/2. سپس، می توان بررسی کرد که عملگرهای تعریف شده در معادله.(32) روابط کموتاسیون جبر SU (2) داده شده در معادله را برآورده می کند.(7) و آن

یعنی جی₊| n_B , n_Fñ = |n_B+ 1, 0ñ اگر n_F= 1 و J₊| n_B , n_Fñ = 0 اگر n باشد_F= 0. به طور مشابه،

از این رو جی_x96| n_B , n_Fñ = 0 وقتی n_F= 1 یا n_B= 0 و J_x96| n_B , n_Fñ = |n_B1, 1ñ وقتی n_F= 0.

سپس عملگر درجه دوم Casimir را بدست می آوریم

و هامیلتونی سیستم را می توان به صورت نوشتاری نوشت

و [H, J_±] = 0.

برای ایالت |n_B , n_Fñ = |0، 0ñ داریم

در حالی که برای ایالات |n_B , n_Fñ ¹ | 0 ، 0 به شرح زیر است

ما از Eqs می بینیم.(38) و (40) که مانند مورد FF ، فقط چرخش 0 و 1/2 تولید می شود. با این حال تفاوت جالبی ظاهر می شود که یکی از نوسانگرها بوزونیک باشد ، همانطور که در بخش بعدی خواهیم دید.

نتیجه گیری v

در مکانیک کوانتومی متقارن معمول ، برابری w_B = w_Fبا دست تحمیل می شود [7]. در طرح Schwinger به طور ضمنی فرض بر این است که هر دو نوسان ساز فرکانس یکسانی دارند ، w. در مورد هر دو یک نوسان ساز فرمیونی و یک بوزونیک این بدان معنی است که W_B = w_Fبشراین بدان معناست که ما تقارن از نوسان سازهای بوزونی و فرمیونی را داریم ، یعنی ما یک ابر تقارن داریم. در واقع ، با استفاده از Eq.(37) ، ما داریم

بنابراین ، ما می توانیم q = j را شناسایی کنیم₊و = j_x96به عنوان ژنراتورهای ابر تقارن. توجه داشته باشید که ، در واقع ، از معادله. (34) و (35) ما داریم

سپس ، دولت های بوزونی |حرف_B+ 1،0ñ انرژی یکسانی نسبت به شرکای فرمیونی خود دارند |حرف_B، 1ñفقط حالت خلاء تخریب نمی شود زیرا از جدول I. مشاهده می شود.

در واقع ، از آنجا که در این حالت ما مکانیک کوانتومی متقارن n = 1 داریم ، می توانیم یک پارامتر Grassma Q (Q 2 = 0) را معرفی کنیم ، و اگر تعریف کنیم

ما می توانیم آن را تأیید کنیم

این رابطه رفت و آمد ، گروه اقلیدسی E (2) را تعریف می کند و همانطور که در Sec ذکر کردیم. من به خوبی شناخته شده است که در تئوری نسبیت گرایانه این گروه کوچک مربوط به ذرات بدون جرم است [3] و به همین دلیل حالات قطبی ذرات بی جرم با چرخش J فقط ± J است. بنابراین ما می توانیم نتیجه خود را به شرح زیر تفسیر کنیم: از آنجا که ما در یک دامنه غیر نسبی قرار داریم ، یعنی فقط یک SU (2) ، فقط ذرات یک نیمی بدون چرخش و چرخش مجاز به بی جرم هستند زیرا در این حالت هر دو 2 J + 1 یا± D تخریب همزمان است. از نقطه نظر علاوه بر حرکت زاویه ای ، یک تحول فوق متقارن

معادل یک تحول برابری است که باعث می شود J ® J و مکانیک کوانتومی ابر متقارن معادل "" جبر SU (2) "باشد.

If we consider SU (2)Ä SU (2)¢, which corresponds to the relativistic case, we can have massless states with j = 0, 1/2, 1 but not with j>1. راهی برای غلبه بر این مشکل ، در نظر گرفتن یک قسمت اسپینور دو جزء مانند Ref است.[6] همانطور که در جای دیگر نشان خواهیم داد.

سرانجام ، ما می خواهیم خاطرنشان کنیم که ممکن است جالب باشد که این برنامه های پسوند Schwinger را برای SU (N) و همچنین در تئوری های میدانی نسبیکی در نظر بگیریم [8].

سپاسگزاریها

این کار تا حدی توسط بنیاد پشتیبانی تحقیقات ایالتی سائوپائولو (FAPESP) ، شورای ملی علوم و فناوری (CNPQ) و برنامه پشتیبانی مراکز عالی (PRONEX) پشتیبانی شد. یکی از ما (VP) می خواهیم از J. F. Gomez بخاطر اینکه اوج خود را به Refs فراخواند ، تشکر کنیم.[6،7]

[2] E. Wigner ، "در بازنمایی های واحد از گروه لورنتز ناهمگن" ، آن. ریاضی. 40 149-204 (1932). این مقاله در گروه های تقارن در فیزیک هسته ای و ذرات ، ویرایش شده توسط F. J. Dyson (بنیامین ، نیویورک ، 1966) چاپ شده است.

[4] J. Schwinger ، '' on Angular Momentum '، در تئوری کوانتومی حرکت زاویه ای ، ویرایش شده توسط L. C. Biedenhan و H. Van Dam ، (Academic Press ، New York ، 1965). پاگ229

[7] برای بررسی مکانیک کوانتومی ابر متقارن ، به F.cooper ، A. Khare و U. Sukhatne ، '' Supersymmetry and Quantum-Mechanics '،' 'فیزیک مراجعه کنید. Rep 251 ، 267-385 (1995). همچنین به E. Drigo Filho ، '' superimetry در مکانیک کوانتومی '،' 'Rev. سینه بند. ENS. FIS 19 ، 152-158 (1997).

[8] J. Schwinger ، '' مبنای چندیسم تحولات فرمی بوز '، آن. فیزیک(N. Y.) 119 ، 192-237 (1975).