در این بخش ما تجزیه و تحلیل همبستگی را مورد بحث قرار می دهیم که تکنیکی است که برای تعیین کمیت ارتباط بین دو متغیر مداوم استفاده می شود. به عنوان مثال ، ما ممکن است بخواهیم ارتباط بین شاخص توده بدن و فشار خون سیستولیک یا بین ساعت ورزش در هفته و درصد چربی بدن را تعیین کنیم. تجزیه و تحلیل رگرسیون یک تکنیک مرتبط برای ارزیابی رابطه بین یک متغیر نتیجه و یک یا چند عامل خطر یا متغیرهای مخدوش است (بعداً مخدوش بحث می شود). متغیر نتیجه نیز متغیر پاسخ یا وابسته نامیده می شود و عوامل خطر و مخدوش کننده ها به عنوان پیش بینی کننده یا متغیرهای توضیحی یا مستقل نامیده می شوند. در تجزیه و تحلیل رگرسیون ، متغیر وابسته "y" مشخص می شود و متغیرهای مستقل توسط "x" مشخص می شوند.

[توجه: اگر به عنوان توانایی پیش بینی حتی فراتر از حد داده ها ، اصطلاح "پیش بینی کننده" می تواند گمراه کننده باشد. همچنین ، اصطلاح "متغیر توضیحی" ممکن است در شرایطی که استنتاج ها باید در شناسایی انجمن ها محدود شوند ، تأثیر علی ایجاد کنند. اصطلاحات متغیر "مستقل" و "وابسته" کمتر در معرض این تفسیرها قرار دارند زیرا آنها به شدت دلالت بر علت و معلول ندارند.

اهداف یادگیری

پس از تکمیل این ماژول ، دانش آموز قادر خواهد بود:

1. در مطالعه یک مشکل بهداشت عمومی نمونه هایی از متغیرهای وابسته و مستقل را تعریف و ارائه دهید
2. ضریب همبستگی را محاسبه و تفسیر کنید
3. ضرایب را در تجزیه و تحلیل رگرسیون خطی محاسبه و تفسیر کنید

تجزیه و تحلیل همبستگی

در تجزیه و تحلیل همبستگی ، ما یک ضریب همبستگی نمونه ، به طور خاص ضریب همبستگی لحظه محصول پیرسون را تخمین می زنیم. ضریب همبستگی نمونه ، مشخص شده R ،

دامنه بی ن-1 و 1+ و جهت و قدرت ارتباط خطی بین دو متغیر را تعیین می کند. همبستگی بین دو متغیر می تواند مثبت باشد (به عنوان مثال ، سطح بالاتر یک متغیر با سطح بالاتر دیگری همراه است) یا منفی (یعنی سطح بالاتر یک متغیر با سطح پایین تر از دیگری همراه است).

علامت ضریب همبستگی نشانگر جهت ارتباط است. میزان ضریب همبستگی نشان دهنده قدرت ارتباط است.

به عنوان مثال ، همبستگی R = 0. 9 نشان دهنده ارتباط قوی و مثبت بین دو متغیر است ، در حالی که همبستگی R = -0. 2 یک ارتباط ضعیف و منفی را نشان می دهد. همبستگی نزدیک به صفر نشان دهنده هیچ ارتباط خطی بین دو متغیر مداوم نیست.

توجه به این نکته حائز اهمیت است که ممکن است یک ارتباط غیرخطی بین دو متغیر مداوم وجود داشته باشد ، اما محاسبه ضریب همبستگی این مسئله را تشخیص نمی دهد. بنابراین ، همیشه مهم است که داده ها را قبل از محاسبه ضریب همبستگی با دقت ارزیابی کنید. نمایشگرهای گرافیکی به ویژه برای کشف ارتباط بین متغیرها مفید هستند.

شکل زیر چهار سناریو فرضی را نشان می دهد که در آن یک متغیر مداوم در امتداد محور x و دیگری در امتداد محور Y ترسیم می شود.

• سناریو 1 یک ارتباط مثبت قوی را نشان می دهد (9/0 = r) ، مشابه آنچه ممکن است برای همبستگی بین وزن تولد نوزادان و طول تولد مشاهده کنیم.
• سناریو 2 ارتباط ضعیف تری را نشان می دهد (R = 0،2) که ممکن است انتظار داشته باشیم بین سن و شاخص توده بدنی (که با افزایش سن افزایش می یابد) ببینیم.
• سناریو 3 ممکن است عدم ارتباط (تقریباً = 0) بین میزان قرار گرفتن در معرض رسانه در بزرگسالی و سن که نوجوانان در آن فعالیت جنسی را آغاز می کنند ، به تصویر بکشد.
• سناریو 4 ممکن است ارتباط منفی قوی (9/0 = r) را نشان دهد که به طور کلی بین تعداد ساعات ورزش هوازی در هفته و درصد چربی بدن مشاهده می شود.

مثال - همبستگی سن حاملگی و وزن هنگام تولد

یک مطالعه کوچک شامل 17 نوزاد برای بررسی ارتباط سن حاملگی در بدو تولد ، اندازه گیری در هفته ها و وزن هنگام تولد ، در گرم اندازه گیری می شود.

سن حاملگی (هفته ها)

وزن تولد (گرم)

ما می خواهیم ارتباط بین سن حاملگی و وزن هنگام تولد نوزادان را تخمین بزنیم. در این مثال ، وزن تولد متغیر وابسته است و سن حاملگی متغیر مستقل است. بنابراین y = وزن هنگام تولد و x = سن حاملگی. داده ها در یک نمودار پراکنده در شکل زیر نمایش داده می شوند.

هر نقطه یک جفت (x ، y) را نشان می دهد (در این حالت سن حاملگی ، در هفته ها اندازه گیری می شود و وزن تولد ، اندازه گیری شده در گرم). توجه داشته باشید که متغیر مستقل ، سن حاملگی) در محور افقی (یا محور x) است و متغیر وابسته (وزن تولد) در محور عمودی (یا محور y) است. طرح پراکندگی ارتباط مثبت یا مستقیم بین سن حاملگی و وزن هنگام تولد نشان می دهد. نوزادان با سنین حاملگی کوتاهتر به احتمال زیاد با وزن کمتری به دنیا می آیند و نوزادان با سنین حاملگی طولانی تر به احتمال زیاد با وزنهای بالاتر به دنیا می آیند.

محاسبه ضریب همبستگی

فرمول ضریب همبستگی نمونه:

جایی که COV (x ، y) کواریانس x و y است که به عنوان تعریف شده است

و آیا واریانس نمونه x و y است که به شرح زیر است:

واریانس x و y تنوع نمرات X و نمرات y را در اطراف نمونه نمونه مربوطه آنها از x و y به طور جداگانه اندازه گیری می کند. کواریانس تنوع جفت (x ، y) را در حدود میانگین x و میانگین y اندازه گیری می کند ، که همزمان در نظر گرفته می شود.

برای محاسبه ضریب همبستگی نمونه ، ما باید واریانس سن حاملگی ، واریانس وزن هنگام تولد و همچنین کواریانس سن حاملگی و وزن هنگام تولد را محاسبه کنیم.

ما ابتدا داده های سن حاملگی را خلاصه می کنیم. میانگین سن حاملگی:

برای محاسبه واریانس سن حاملگی ، ما باید بین هر سن حاملگی مشاهده شده و میانگین سن حاملگی ، انحرافات مربع (یا تفاوت) را جمع کنیم. محاسبات در زیر خلاصه شده است.

سن حاملگی (هفته ها)

واریانس سن حاملگی:

بعد ، ما داده های وزن هنگام تولد را خلاصه می کنیم. میانگین وزن هنگام تولد:

واریانس وزن هنگام تولد دقیقاً همانطور که در جدول زیر نشان داده شده است محاسبه می شود.

واریانس وزن هنگام تولد:

بعد ما کواریانس را محاسبه می کنیم:

برای محاسبه کواریانس سن حاملگی و وزن هنگام تولد ، ما باید انحراف را از میانگین سن حاملگی با انحراف از میانگین وزن هنگام تولد برای هر شرکت کننده ، یعنی: یعنی::

محاسبات در زیر خلاصه شده است. توجه کنید که ما به سادگی انحرافات را از میانگین سن حاملگی و وزن تولد از دو جدول بالا در جدول زیر کپی می کنیم و ضرب می کنیم.

کواریانس سن حاملگی و وزن هنگام تولد:

سرانجام ، ما می توانیم ضریب همبستگی نمونه را محاسبه کنیم:

جای تعجب نیست که ضریب همبستگی نمونه نشانگر همبستگی مثبت قوی است.

همانطور که اشاره کردیم ، ضرایب همبستگی نمونه ا ز-1 تا 1+ متغیر است. در عمل ، همبستگی های معنی دار (به عنوان مثال ، همبستگی هایی که از نظر بالینی یا عملی مهم هستند) می توانند برای ارتباطات مثبت (یا منفی) به اندازه 0. 4 (ی ا-0. 4) کوچک باشند. همچنین آزمایشات آماری برای تعیین اینکه آیا یک همبستگی مشاهده شده از نظر آماری معنی دار است یا خیر (به عنوان مثال ، از نظر آماری تفاوت معنی داری با صفر) وجود دارد. روشها برای آزمایش اینکه آیا یک همبستگی نمونه مشاهده شده حاکی از همبستگی آماری معنی دار در جزئیات در کلینباوم ، کوپر و مولر است. 1

تجزیه و تحلیل رگرسیون

تجزیه و تحلیل رگرسیون یک تکنیک گسترده است که برای بسیاری از برنامه ها مفید است. ما این تکنیک را در اینجا معرفی می کنیم و کاربردهای آن را در ماژول های بعدی گسترش می دهیم.

رگرسیون خطی ساده

رگرسیون خطی ساده تکنیکی است که برای درک ارتباط بین یک متغیر مستقل (یا پیش بینی کننده) و یک متغیر وابسته مداوم (یا نتیجه) مناسب است. به عنوان مثال ، فرض کنید ما می خواهیم ارتباط بین کلسترول کل (در میلی گرم در دسی لیتر ، Mg/DL) و شاخص توده بدنی (BMI ، اندازه گیری وزن در کیلوگرم به ارتفاع در متر 2) را ارزیابی کنیم که کلسترول کل وابسته است. متغیر ، و BMI متغیر مستقل است. در تجزیه و تحلیل رگرسیون ، متغیر وابسته y مشخص شده و متغیر مستقل مشخص شده X است. بنابراین ، در این حالت ، y = کلسترول کل و x = BMI.

هنگامی که یک متغیر وابسته مداوم و یک متغیر مستقل واحد وجود دارد ، تجزیه و تحلیل یک تحلیل رگرسیون خطی ساده نامیده می شود. این تجزیه و تحلیل فرض می کند که بین دو متغیر ارتباط خطی وجود دارد.(اگر رابطه متفاوتی فرض شود ، مانند یک رابطه منحنی یا نمایی ، تجزیه و تحلیل رگرسیون جایگزین انجام می شود.)

شکل زیر یک نمودار پراکنده است که رابطه بین BMI و کلسترول کل را نشان می دهد. هر نقطه نشان دهنده جفت مشاهده شده (x ، y) است ، در این حالت ، BMI و کلسترول کل مربوطه در هر شرکت کننده اندازه گیری می شود. توجه داشته باشید که متغیر مستقل (BMI) در محور افقی و متغیر وابسته (کلسترول سرم کل) در محور عمودی است.

BMI و کلسترول کل

نمودار نشان می دهد که بین BMI و کلسترول کل ارتباط مثبت یا مستقیم وجود دارد. شرکت کنندگان با BMI پایین تر احتمالاً سطح کلسترول کمتری دارند و شرکت کنندگان با BMI بالاتر احتمالاً سطح کلسترول کل بالاتری دارند. در مقابل ، فرض کنید ارتباط بین BMI و کلسترول HDL را بررسی می کنیم.

در مقابل ، نمودار زیر رابطه بین BMI و کلسترول HDL را در همان نمونه از N = 20 شرکت کننده نشان می دهد.

کلسترول BMI و HDL

این نمودار ارتباط منفی یا معکوس بین BMI و کلسترول HDL را نشان می دهد ، یعنی کسانی که BMI پایین تر دارند ، احتمال بیشتری دارند که سطح کلسترول HDL بالاتری داشته باشند و کسانی که BMI بالاتری دارند ، احتمالاً سطح کلسترول HDL را پایین می آورند.

برای هر یک از این روابط می توانیم از تجزیه و تحلیل رگرسیون خطی ساده برای برآورد معادله خط استفاده کنیم که به بهترین وجه ارتباط بین متغیر مستقل و متغیر وابسته را توصیف می کند. معادله رگرسیون خطی ساده به شرح زیر است:

جایی که y مقدار پیش بینی شده یا مورد انتظار نتیجه است ، x پیش بینی کننده است ، ب₀تخمین زده شده است.₁شیب تخمین زده شده است. رهگیری y و شیب از داده های نمونه تخمین زده می شود ، و آنها مقادیری هستند که مجموع اختلافات مربع بین مقادیر مشاهده شده و پیش بینی شده نتیجه را به حداقل می رسانند ، یعنی تخمین ها به حداقل می رسند:

این اختلافات بین مقادیر مشاهده شده و پیش بینی شده نتیجه ، باقیمانده نامیده می شود. برآوردهای مربوط به رهگیری و شیب y ، مجموع باقیمانده های مربع را به حداقل می رساند و کمترین تخمین مربعات نامیده می شود. 1

از نظر مفهومی ، اگر مقادیر x پیش بینی کاملی از y را ارائه دهد ، جمع اختلافات مربع بین مقادیر مشاهده شده و پیش بینی شده y 0 خواهد بود. تفاوت بین مقادیر مشاهده شده و پیش بینی شده 0 نیست ، بنابراین ما نمی توانیم بر اساس X کاملاً تفاوت در Y را حساب کنیم ، سپس خطاهای باقیمانده در پیش بینی وجود دارد. خطای باقیمانده می تواند ناشی از اندازه گیری نادرست x یا y باشد ، یا ممکن است متغیرهای دیگری نیز به غیر از X وجود داشته باشد که بر مقدار Y تأثیر می گذارد.

بر اساس داده های مشاهده شده ، بهترین تخمین از یک رابطه خطی از یک معادله برای خط بدست می آید که تفاوت بین مقادیر مشاهده شده و پیش بینی شده نتیجه را به حداقل می رساند. رهگیری Y این خط مقدار متغیر وابسته (y) است که متغیر مستقل (x) صفر است. شیب خط تغییر در متغیر وابسته (y) نسبت به تغییر یک واحد در متغیر مستقل (x) است. کمترین تخمین مربع از رهگیری Y و شیب به شرح زیر محاسبه می شود:

• r ضریب همبستگی نمونه است ،
• نمونه به معنای و
• و s_xو s_yانحراف استاندارد متغیر مستقل X و متغیر وابسته Y به ترتیب است.

BMI و کلسترول کل

کمترین تخمین مربع از ضرایب رگرسیون ، ب₀و ب₁، توصیف رابطه بین BMI و کلسترول کل B است₀= 28. 07 و ب₁= 6. 49. اینها به شرح زیر محاسبه می شوند:

برآورد y-intence (ب₀= 28. 07) سطح کلسترول تخمین زده شده در هنگام صفر BMI را نشان می دهد. از آنجا که BMI صفر بی معنی است ، رهگیری Y آموزنده نیست. برآورد شیب (ب₁= 6. 49) نشان دهنده تغییر در کلسترول کل نسبت به تغییر یک واحد در BMI است. به عنوان مثال ، اگر ما دو شرکت کننده را که BMI آنها با 1 واحد متفاوت است مقایسه کنیم ، انتظار داریم کلسترول های کل آنها تقریباً با 6. 49 واحد متفاوت باشد (با شخصی که BMI بالاتر دارای کلسترول بالاتر است).

معادله خط رگرسیون به شرح زیر است:

نمودار زیر خط رگرسیون تخمین زده شده در نمودار پراکندگی را نشان می دهد.

از معادله رگرسیون می توان برای تخمین کلسترول کل شرکت کننده به عنوان تابعی از BMI خود استفاده کرد. به عنوان مثال ، فرض کنید یک شرکت کننده دارای BMI 25 است. ما کلسترول کل آنها را 28. 07 + 6. 49 (25) = 190. 32 تخمین می زنیم. از این معادله همچنین می توان برای برآورد کلسترول کل برای سایر مقادیر BMI استفاده کرد. با این حال ، معادله فقط باید برای تخمین سطح کلسترول برای افرادی که BMI آنها در محدوده داده های مورد استفاده برای تولید معادله رگرسیون قرار دارد ، استفاده شود. در نمونه ما ، BMI از 20 تا 32 متغیر است ، بنابراین معادله فقط باید برای تولید تخمین کلسترول کل برای افراد مبتلا به BMI در آن محدوده استفاده شود.

آزمایشات آماری وجود دارد که می تواند برای ارزیابی اینکه آیا ضرایب رگرسیون تخمین زده شده انجام می شود (ب)₀و ب₁) از نظر آماری تفاوت معنی داری با صفر دارند. آزمون بیشترین علاقه معمولاً ساعت است₀: b₁= 0 در مقابل ساعت₁: b₁≠ 0 ، جایی که b₁شیب جمعیت است. اگر شیب جمعیت با صفر تفاوت معنی داری داشته باشد ، نتیجه می گیریم که بین متغیرهای مستقل و وابسته ارتباط آماری معنی داری وجود دارد.

کلسترول BMI و HDL

کمترین تخمین مربع از ضرایب رگرسیون ، ب₀و ب₁، توصیف رابطه بین BMI و کلسترول HDL به شرح زیر است: B₀= 111. 77 و ب₁= -2. 35. اینها به شرح زیر محاسبه می شوند:

باز هم ، رهگیری Y در آگاهانه زیرا BMI صفر بی معنی است. برآورد شیب (ب₁= -2. 35) نشان دهنده تغییر در کلسترول HDL نسبت به تغییر یک واحد در BMI است. اگر دو شرکت کننده را با یکدیگر مقایسه کنیم که BMI آنها با 1 واحد متفاوت باشد ، انتظار داریم کلسترول های HDL آنها تقریباً 2. 35 واحد متفاوت باشد (با شخصی که BMI بالاتر دارای کلسترول HDL پایین تر است. شکل زیر خط رگرسیون را در نمودار پراکنده نشان می دهد. برای کلسترول BMI و HDL.

تجزیه و تحلیل رگرسیون خطی بر این فرض استوار است که متغیر وابسته مداوم است و توزیع متغیر وابسته (y) در هر مقدار متغیر مستقل (x) تقریباً به طور عادی توزیع می شود. توجه داشته باشید که متغیر مستقل می تواند مداوم باشد (به عنوان مثال ، BMI) یا می تواند دوگانگی باشد (به تصویر زیر مراجعه کنید).

مقایسه میانگین سطح HDL با تجزیه و تحلیل رگرسیون

یک کارآزمایی بالینی را برای ارزیابی اثربخشی یک داروی جدید برای افزایش کلسترول HDL در نظر بگیرید. ما می توانیم میانگین سطح HDL بین گروههای درمانی را از نظر آماری با استفاده از یک آزمایش T مستقل مقایسه کنیم. در اینجا ما یک رویکرد متناوب را در نظر می گیریم. داده های خلاصه برای آزمایش در زیر نشان داده شده است:

انحراف استاندارد HDL

کلسترول HDL متغیر وابسته مداوم است و واگذاری درمان (داروی جدید در مقابل دارونما) متغیر مستقل است. فرض کنید داده های مربوط به N = 100 شرکت کننده در یک بسته محاسبات آماری وارد شده است. نتیجه (y) کلسترول HDL در Mg/dl است و متغیر مستقل (X) تکلیف درمانی است. برای این تجزیه و تحلیل ، X برای شرکت کنندگان که داروی جدید دریافت کرده اند و برای شرکت کنندگان که دارونما دریافت کرده اند ، به عنوان 1 کدگذاری شده است. معادله رگرسیون خطی ساده به شرح زیر تخمین زده می شود:

در جایی که y سطح HDL تخمین زده شده است و X یک متغیر دوگانگی است (که به آن متغیر شاخص نیز گفته می شود ، در این حالت نشان می دهد که آیا شرکت کننده به داروی جدید یا دارونما اختصاص داده شده است). برآورد y-Intercep₀= 39. 21. رهگیری Y مقدار y (کلسترول HDL) در هنگام صفر است. در این مثال ، x = 0 نشان دهنده انتساب به گروه دارونما است. بنابراین ، رهگیری Y دقیقاً برابر با میانگین سطح HDL در گروه دارونما است. شیب به عنوان b تخمین زده می شود₁= 0. 95. شیب نشان دهنده تغییر تخمین زده شده در Y (کلسترول HDL) نسبت به تغییر یک واحد در X است. تغییر یک واحد در X تفاوت در تکالیف درمانی (دارونما در مقابل داروی جدید) را نشان می دهد. شیب نشان دهنده تفاوت در میانگین سطح HDL بین گروههای درمانی است. بنابراین ، میانگین HDL برای شرکت کنندگان در حال دریافت داروی جدید:

-----

یک مطالعه برای ارزیابی ارتباط بین هوش شخص و اندازه مغز آنها انجام شد. شرکت کنندگان یک آزمایش ضریب هوشی استاندارد را انجام دادند و محققان برای تعیین اندازه مغز از تصویربرداری رزونانس مغناطیسی (MRI) استفاده کردند. اطلاعات دموگرافیک ، از جمله جنسیت بیمار نیز ثبت شد.

بحث و جدال در مورد قرار گرفتن در معرض دود دخانیات محیط زیست

شواهد قانع کننده ای وجود دارد که نشان می دهد سیگار کشیدن فعال یک استعلتسرطان ریه و بیماری قلبی. بسیاری از مطالعات انجام شده در طیف گسترده ای از شرایط ، به طور مداوم ارتباط قوی را نشان داده اند و همچنین نشان می دهد که خطر ابتلا به سرطان ریه و بیماری های قلبی عروقی (یعنی حملات قلبی) به روش مربوط به دوز افزایش می یابد. این مطالعات منجر به این نتیجه گیری شده است که استعمال دخانیات با سرطان ریه و بیماری های قلبی عروقی مرتبط است. مطالعات در افراد سیگاری فعال این مزیت را داشته است که قرار گرفتن در معرض طول عمر در برابر دود دخانیات می تواند با دقت معقول اندازه گیری شود ، زیرا دوز واحد سازگار است (یک سیگار) و ماهیت عادت سیگار کشیدن دخانیات باعث می شود که بیشتر افراد سیگاری بتوانند تخمین معقول ارائه دهنداز کل قرار گرفتن در معرض طول عمر آنها از نظر سیگار در روز یا بسته های روزانه. غالباً ، میانگین قرار گرفتن در معرض روزانه (سیگار یا بسته) با مدت زمان استفاده در سالها به منظور تعیین کمیت قرار گرفتن در معرض به عنوان "سال های بسته" ترکیب می شود.

تعیین اینکه آیا قرار گرفتن در معرض دود دخانیات محیط زیست (ETS) از نظر علی مربوط به بیماری های مزمن مانند بیماری قلبی و سرطان ریه است ، بسیار دشوارتر بوده است ، زیرا دوز قرار گرفتن در معرض عمر کل کمتر است ، و تخمین دقیق قرار گرفتن در معرض عمر کل بسیار دشوارتر استبشرعلاوه بر این ، کمیت این خطرات به دلیل عوامل مخدوش نیز پیچیده است. به عنوان مثال ، قرار گرفتن در معرض ETS معمولاً بر اساس سیگار کشیدن والدین یا همسران طبقه بندی می شود ، اما این مطالعات قادر به تعیین کمیت سایر مواجهه با محیط زیست در مصرف سیگار دخانیات نیستند ، و عدم توانایی در تعیین کمیت و تنظیم سایر مواجهه با محیط زیست مانند آلودگی هوا ، نشان دادن ارتباط را دشوار می کند. حتی اگر یکی وجود داشته باشد. در نتیجه ، همچنان در مورد خطر ناشی از دود دخانیات محیط زیست (ETS) اختلاف نظر وجود دارد. برخی تا آنجا پیش رفته اند که ادعا می کنند حتی قرار گرفتن در معرض بسیار کوتاه ETS می تواند باعث انفارکتوس میوکارد (حمله قلبی) شود ، اما یک مطالعه کوهورت آینده نگر بسیار بزرگ توسط Enstrom و Kabat قادر به نشان دادن ارتباطات مهم بین قرار گرفتن در معرض ETS همسران و قلب عروق کرونر نبوده است. بیماری ، بیماری انسداد مزمن ریوی یا سرطان ریه.(با این حال ، لازم به ذکر است که گزارش Enstrom و Kabat به دلیل مشکلات روش شناختی مورد انتقاد گسترده قرار گرفته است ، و این نویسندگان نیز با صنعت دخانیات روابط مالی داشتند.)

تجزیه و تحلیل همبستگی ابزاری مفید برای تفکر در مورد این بحث و جدال فراهم می کند. داده های گروه پزشکان انگلیس را در نظر بگیرید. آنها مرگ و میر سالانه را برای انواع بیماری در چهار سطح سیگار سیگار در روز گزارش کردند: هرگز سیگار نکشید ، 1-14 در روز ، 15-24 در روز و 25+در روز. به منظور انجام تجزیه و تحلیل همبستگی ، سطح قرار گرفتن در معرض را به ترتیب 0 ، 10 ، 20 و 30 دور کردم.

در هر 100000 مرد در سال

مرگ و میر سرطان ریه

در هر 100000 مرد در سال