دنباله فیبوناچی و شماره طلایی

کاوش با توالی فیبوناچی

توالی فیبوناچی را در ستون اول با استفاده از f (0) = 1 ، f (1) = 1 ایجاد کنید.

نسبت هر جفت اصطلاح مجاور را در دنباله فیبوناچی بسازید. با افزایش N چه اتفاقی می افتد؟در مورد نسبت هر دوره دوم چیست؟و غیره.

توالی ها را کاوش کنید که در آن f (0) و f (1) برخی از اعداد صحیح دلخواه غیر از 1. هستند. اگر f (0) = 1 و f (1) = 3 ، دنباله شما یک توالی لوکاس است. با این حال ، همه این توالی ها همان حد از نسبت اصطلاحات پی در پی دارند.

قرن ها ، توالی اعداد فیبوناچی موضوعی است که بسیار عمیق تر از یک لیست ساده از اعداد خاص است. دنباله فیبوناچی به سایر قلمروهای ریاضیات و چندین پدیده که در سراسر جهان طبیعی یافت شده است. معرفی دانش آموزان به دنباله و برخی از خصوصیات ابتدایی آن می تواند جذابیت خود را با شکوه ریاضیات جلب کند. اکتشافی با دنباله به راحتی می تواند با استفاده از نوعی نرم افزار صفحه گسترده مانند مایکروسافت اکسل انجام شود.

جدول زیر توالی فیبوناچی را نشان می دهد ، که از 1 به عنوان اصطلاحات اول و دوم شروع می شود. این می تواند به راحتی در اکسل با اضافه کردن یک تابع به ستون ، که در آن سلول بعدی مجموع دو سلول قبلی است ، به دست آورد. استفاده از عملکرد در چندین سلول در ستون منجر به توالی فیبوناچی خواهد شد. مشاهده کنید که چگونه اعداد موجود در دنباله به سرعت افزایش می یابد.

یکی از خصوصیات جالب توالی فیبوناچی ، نسبت هر جفت اصطلاح مجاور در دنباله است. هنگام تقسیم اصطلاح N در دنباله توسط اصطلاح N-1 در دنباله ، نسبت با افزایش مقدار N به 1. 618034 همگرا می شود. این مقدار نسبت طلایی (یا میانگین طلایی) است. هنگام تقسیم اصطلاح N-1 با ترم n th ، نسبت به تقریباً 0. 618034 با افزایش مقدار N افزایش می یابد. این نسبت طلایی منهای یک است. در جدول زیر توجه کنید که چگونه مقادیر موجود در ستون 1/2*(1 ± 5) با افزایش مقدار N افزایش می یابد.

بگذارید A و B دو اصطلاح پی در پی در دنباله باشد ، جایی که A قبل از b است. بنابراین ، A+B اصطلاح بعدی است. هنگام تقسیم اصطلاح n در دنباله با اصطلاح n-1 ، اساساً در حال یافتن b / a هستیم. جدول بالا به ما نشان می دهد که این نسبت به یک عدد خاص همگرا می شود ، بنابراین نسبت (A+B)/ B باید به همان تعداد همگرا شود. بنابراین ، b / a = (a + b) / b = a / b + 1. اجازه دهید l با افزایش n ، حد b / a باشد. بنابراین ، l = 1/l + 1. این منجر به معادله درجه دوم l 2 - l - 1 = 0. با استفاده از فرمول درجه دوم برای یافتن راه حل های این معادله ، l = 1/2*(1 ± 5) ،که نسبت طلایی است.(اکتشافی با قدرت L بیشتر در زیر مورد بررسی قرار می گیرد.)

یکی دیگر از ویژگی های جالب توالی فیبوناچی ، نسبت هر اصطلاح دوم در دنباله است. هنگام تقسیم اصطلاح N در دنباله با اصطلاح N-2 ، نسبت به تقریباً 2. 618034 با افزایش N ، که نسبت طلایی است ، به علاوه یک. هنگام تقسیم اصطلاح N-2 در دنباله توسط اصطلاح N ، نسبت به تقریباً 0. 381967 با افزایش N همگرا می شود. این دو منهای نسبت طلایی است.

توالی های دیگر با مقادیر اولیه مختلف ، اما با همان قاعده مشابه توالی فیبوناچی (اضافه کردن اصطلاحات متوالی برای به دست آوردن اصطلاح بعدی) دارای خواص مشابهی از توالی فیبوناچی هستند. به عنوان مثال ، دنباله لوکاس شبیه به توالی فیبوناچی است ، اما مقادیر اولیه 1 و 3 را پیدا می کند. پیدا کردن نسبت های یکسانی که در بالا با توالی فیبوناچی ذکر شد ، همه آنها به همان مقادیر مربوط به نسبت طلایی به عنوان مقدار همگرا می شوندبرای N افزایش می یابد.

محدودیت نسبت اصطلاحات n th و n-1 و اصطلاحات n th و n-2 همیشه بدون در نظر گرفتن دو مقدار اولیه ، به همان مقادیر توالی فیبوناچی همگرا می شوند. جداول مختلف زیر توالی های مختلف را مشاهده کنید که منجر به محدودیت های مشابه N به بی نهایت می شوند.

یکی دیگر از ویژگی های جالب توالی فیبوناچی از عملیات خاصی با اصطلاحات پی در پی در دنباله ناشی می شود. ابتدا محصول اصطلاحات پی در پی را در دنباله پیدا کنید. با استفاده از این مقادیر ، تفاوت بین اصطلاحات پی در پی پیدا کنید. این تفاوت محصولات است. با در نظر گرفتن ریشه مربع هر اختلاف ، یک بار دیگر توالی فیبوناچی (به جز اولین اصطلاح اولیه) منجر می شود. این ملک برای هر دنباله ای که شرایط آن مجموع دو اصطلاح متوالی قبلی است ، صادق است. توجه داشته باشید که وقتی مقدار اولیه دوم یا هر دو مقدار اولیه منفی باشند (ایجاد توالی تمام مقادیر منفی) ، توالی حاصل پس از سه عملیات مثبت خواهد بود.

جبر را در نظر بگیرید تا درک کنید که چرا این کار می کند. بگذارید A ، B و A+B سه اصطلاح متوالی در دنباله باشد. سپس محصولات دو اصطلاح مجاور A *B = AB و B *(A + B) = AB + B 2 هستند. تفاوت بین این دو محصول (AB + B 2) - AB = B 2 است. با در نظر گرفتن ریشه مربع B 2 منجر به B می شود که فقط یکی از مقادیر موجود در دنباله اصلی است.

همانطور که در بالا توضیح داده شد ، نسبت اصطلاحات متوالی در توالی فیبوناچی به نسبت طلایی همگرا شد. این با استفاده از A و B به عنوان اصطلاحات متوالی در دنباله نشان داده شد.

اکنون ، اصطلاحات متوالی را در دنباله به عنوان f در نظر بگیرید_n+1و f_nبشرنسبت اصطلاحات مجاور به عنوان افزایش N می تواند مشخص شود

بگذارید من حد f باشد_n+1/f_nبشرنتیجه می گیرد که برای N به اندازه کافی بزرگ ، L نیز محدودیت F خواهد بود_n/f_n-1بشربنابراین حد f_n-1/f_n= 1/ل. جایگزین مقادیر ، ما L = 1/L + 1 یا 1/L = L - 1. این بدان معنی است که متقابل حد اصطلاحات متوالی با محدودیت اصطلاحات متوالی ، منهای یک داده می شود.

ضرب هر دو طرف معادله فوق توسط L منجر به L 2 = L + 1. حل این معادله درجه دوم منجر به نسبت طلایی می شود ، که معمولاً توسط φ مشخص می شود. بنابراین ، مشخص شد که φ = 1/φ + 1 و φ 2 = φ + 1. این واقعیت که φ 2 = φ + 1 دلالت بر این دارد که مربع نسبت طلایی همان است که یک به علاوه نسبت طلایی است.

توجه کنید که در اکتشافات فوق ، φ + 1 در همگرایی نسبت هر دوره دوم نیز یافت شد. بنابراین ، نسبت هر دوره دوم φ 2 است. مشابه موارد فوق ، folllowing را در نظر بگیرید:

در مورد φ 3 چطور؟آیا این حد مجاز هر دوره سوم در دنباله فیبوناچی خواهد بود؟اجازه دهید f_n+3و f_nهر دوره سوم در دنباله باشد.

جدول زیر نشان می دهد که چگونه اصطلاحات دنباله فیبوناچی با قدرت φ مرتبط است. توجه کنید که نسبت اصطلاحات مجاور به φ ، نسبت هر دو اصطلاح به φ 2 همگرا می شود ، نسبت هر سه اصطلاح به φ 3 همگرا می شود ، نسبت هر چهار اصطلاح به φ 4 و غیره همگرا می شود.

نوشتن قدرت φ از نظر φ نیز نتیجه جالبی دارد. با استفاده از این واقعیت

φ 2 = φ + 1 φ 3 = 2φ + 1 φ 4 = 3φ + 2 φ 5 = 5φ + 3 φ 6 = 8φ + 5 φ 7 = 13φ + 8

آیا در اینجا می توان الگویی را مشاهده کرد؟آیا می توان φ 8 را بدون عبور از تعویض ها و ساده سازی های خسته کننده پیش بینی کرد؟چه مشاهداتی در مورد ضریب و ثابت در هر معادله می تواند انجام شود؟به نظر می رسد که قدرت φ را می توان به عنوان یک تابع خطی از φ که در آن ضریب φ و ثابت ها اصطلاحات مجاور در دنباله فیبوناچی هستند ، نوشته شود.

به عبارت دیگر ، φ n = f_nΦ + f_n-1برای n بزرگتر از 0.

از طریق این کاوش های مختلف ، به راحتی می توان فهمید که توالی فیبوناچی چیزی بیش از مجموعه ای از اعداد است. اکتشافات بیشتر با دنباله می تواند به دانش آموزان اجازه دهد خواص و نتایج جالب را کشف کنند که همه در زیبایی ریاضیات نقش دارند.