6. 2 تعیین حجم با برش

در بخش قبل ، از انتگرال های قطعی برای یافتن منطقه بین دو منحنی استفاده کردیم. در این بخش ، ما از انتگرال های قطعی برای یافتن حجم مواد جامد سه بعدی استفاده می کنیم. ما بسته به ویژگی های جامد ، سه رویکرد - بستر ، دیسک و واشر - را برای یافتن این حجم ها در نظر می گیریم.

حجم و روش برش

درست همانطور که مساحت اندازه گیری عددی یک منطقه دو بعدی است ، حجم اندازه گیری عددی یک جامد سه بعدی است. بیشتر ما با استفاده از فرمولهای هندسی اساسی حجم مواد جامد را محاسبه کرده ایم. به عنوان مثال ، حجم یک جامد مستطیل شکل را می توان با ضرب طول ، عرض و ارتفاع محاسبه کرد: V = L W H. V = L W H. فرمول های حجم یک کره (V = 4 3 π R 3) ، (V = 4 3 π R 3) ، یک مخروط (V = 1 3 π R 2 H) ، (V = 1 3 π R 2 H) ، و یک هرم (V = 1 3 A H) (V = 1 3 A H) نیز معرفی شده است. اگرچه برخی از این فرمول ها به تنهایی با استفاده از هندسه بدست آمده اند ، اما با استفاده از ادغام ، تمام این فرمول ها می توانند بدست آورند.

ما همچنین می توانیم حجم یک سیلندر را محاسبه کنیم. اگرچه بیشتر ما به یک سیلندر فکر می کنیم که دارای یک پایه دایره ای مانند سوپ قوطی یا میله فلزی است ، اما در ریاضیات کلمه سیلندر معنای کلی تری دارد. برای بحث در مورد سیلندرها در این زمینه عمومی تر ، ابتدا باید برخی از واژگان را تعریف کنیم.

ما سطح مقطع یک جامد را به عنوان تقاطع هواپیما با جامد تعریف می کنیم. یک سیلندر به عنوان هر جامد تعریف می شود که می تواند با ترجمه یک منطقه هواپیما در امتداد یک خط عمود بر منطقه ، به نام محور سیلندر تولید شود. بنابراین ، تمام مقاطع عمود بر محور یک استوانه یکسان هستند. جامد نشان داده شده در شکل 6. 11 نمونه ای از سیلندر با یک پایه غیر دایره ای است. برای محاسبه حجم یک استوانه ، ما به سادگی مساحت سطح مقطع را با ارتفاع استوانه ضرب می کنیم: v = a · h. V = A · H. در مورد سیلندر دایره ای راست (سوپ قوطی) ، این V = π R 2 H می شود. v = π r 2 h.

شکل 6. 11 هر مقطع از یک سیلندر خاص با سایرین یکسان است.

اگر یک جامد مقطع ثابت نداشته باشد (و یکی دیگر از مواد جامد اساسی نیست) ، ممکن است ما فرمولی برای حجم آن نداشته باشیم. در این حالت ، ما می توانیم از یک انتگرال قطعی برای محاسبه حجم جامد استفاده کنیم. ما این کار را با خرد کردن جامد به قطعات انجام می دهیم ، حجم هر برش را تخمین می زنیم و سپس آن حجم تخمین زده شده را به هم اضافه می کنیم. برش ها باید همه با یکدیگر موازی باشند و وقتی همه برش ها را در کنار هم قرار می دهیم ، باید کل جامد را بدست آوریم. به عنوان مثال ، جامد S که در شکل 6. 12 نشان داده شده است ، در امتداد x-axis گسترش یافته است. x-axis.

شکل 6. 12 یک جامد با یک مقطع متفاوت.

ما می خواهیم S S را به برش های عمود بر X-axis تقسیم کنیم. x-axis. همانطور که بعداً در این فصل می بینیم ، ممکن است مواقعی وجود داشته باشد که بخواهیم جامد را در بعضی از جهات دیگر خرد کنی م-مثلاً با برش هایی عمود بر Y-axis. تصمیم این روش برای برش جامد بسیار مهم است. اگر انتخاب اشتباهی انجام دهیم ، محاسبات می توانند کاملاً کثیف شوند. بعداً در این فصل ، ما برخی از این موقعیت ها را با جزئیات بررسی می کنیم و به این موضوع می پردازیم که چگونه تصمیم بگیریم کدام راه را برای برش جامد انجام دهیم. با این حال ، برای اهداف این بخش ، از برش های عمود بر X-axis استفاده می کنیم. x-axis.

از آنجا که سطح مقطع ثابت نیست ، ما اجازه می دهیم A (x) A (x) مساحت سطح مقطع را در نقطه X نشان دهد. ایکس . حالا اجازه دهید p =P = یک پارتیشن معمولی از [a ، b] ، [a ، b] باشید ، و برای i = 1 ، 2 ،… n ، i = 1 ، 2 ،… n ، اجازه دهید s i s من نمایانگر برش S S از x i هستم- 1 تا x i. X I - 1 تا X I. شکل زیر جامد خرد شده با n = 3 را نشان می دهد. n = 3.

شکل 6. 13 S جامد S به سه برش عمود بر X-axis تقسیم شده است. x-axis.

سرانجام ، برای i = 1 ، 2 ،… n ، i = 1 ، 2 ،… n ، اجازه دهید x i * x i * یک نقطه دلخواه در [x i - 1 ، x i] باشد.[x i - 1 ، x i]. سپس حجم برش ها را می توان با v (s i) ≈ a (x i *) Δ x تخمین زد. v (s i) ≈ a (x i *) Δ x. با افزودن این تقریب ها با هم ، می بینیم که حجم کل S جامد می تواند توسط تقریب شود

v (s) ≈ ∑ i = 1 n a (x i *) Δ x. v (s) ≈ ∑ i = 1 n a (x i *) Δ x.

در حال حاضر ، ما می توانیم این موضوع را به عنوان یک مبلغ ریمان بشناسیم و قدم بعدی ما این است که حد را به عنوان n →. n →سپس ما داریم

v (s) = lim n → ∞ ∑ i = 1 n a (x i *) Δ x = ∫ a b a (x) d x. v (s) = lim n → ∞ ∑ i = 1 n a (x i *) Δ x = ∫ a b a (x) d x.

تکنیکی که ما به تازگی توضیح داده ایم ، روش برش نامیده می شود. برای استفاده از آن ، ما از استراتژی زیر استفاده می کنیم.

استراتژی حل مسئله

استراتژی حل مسئله: یافتن حجم با روش برش

1. جامد را بررسی کرده و شکل یک مقطع جامد را تعیین کنید. در صورت عدم ارائه یک عکس ، غالباً مفید است.
2. یک فرمول برای منطقه مقطع را تعیین کنید.
3. برای به دست آوردن حجم ، فرمول منطقه را در فاصله مناسب ادغام کنید.

به یاد بیاورید که در این بخش فرض می کنیم که برش ها عمود بر X-axis هستند. x-axis. بنابراین ، فرمول منطقه از نظر x است و محدودیت های ادغام بر روی x-axis است. x-axis. با این حال ، استراتژی حل مسئله که در اینجا نشان داده شده است ، صرف نظر از نحوه انتخاب ما برای برش جامد ، معتبر است.

مثال 6. 6

به دست آوردن فرمول برای حجم هرم

ما از هندسه می دانیم که فرمول حجم یک هرم V = 1 3 A H است. v = 1 3 a h. اگر هرم دارای یک پایه مربع باشد ، این به V = 1 3 A 2 ساعت ، V = 1 3 A 2 ساعت تبدیل می شود ، جایی که A A طول یک طرف پایه را نشان می دهد. ما قصد داریم از روش برش برای استخراج این فرمول استفاده کنیم.

راه حل

ما می خواهیم روش برش را در یک هرم با یک پایه مربع اعمال کنیم. برای تنظیم انتگرال ، هرم نشان داده شده در شکل 6. 14 را در نظر بگیرید ، در امتداد X-axis. x-axis.

شکل 6. 14 (الف) هرمی با یک پایه مربع در امتداد X-axis قرار دارد.(ب) نمای دو بعدی از هرم از طرف مشاهده می شود.

ما ابتدا می خواهیم شکل مقطع هرم را تعیین کنیم. ما می دانیم که پایه یک مربع است ، بنابراین مقاطع نیز مربع هستند (مرحله 1). اکنون می خواهیم فرمولی را برای مساحت یکی از این میادین مقطعی تعیین کنیم. با نگاهی به شکل 6. 14 (b) و با استفاده از نسبت ، از آنجا که این مثلث های مشابه هستند ، ما داریم

s a = x h یا s = a x h. s a = x h یا s = a x h.

بنابراین ، مساحت یکی از مربع های مقطعی است

a (x) = s 2 = (a x h) 2 (مرحله 2). a (x) = s 2 = (a x h) 2 (مرحله 2).

سپس حجم هرم را با ادغام از 0 تا ساعت 0 تا ساعت می یابیم (مرحله 3): 3):

V = ∫ 0 H A (x) D x = ∫ 0 H (A x H) 2 D x = A 2 H 2 ∫ 0 H x 2 D X = [A 2 H 2 (1 3 x 3)] |0 ساعت = 1 3 A 2 ساعت. V = ∫ 0 H A (x) D x = ∫ 0 H (A x H) 2 D x = A 2 H 2 ∫ 0 H x 2 D X = [A 2 H 2 (1 3 x 3)] |0 ساعت = 1 3 A 2 ساعت.

این فرمولی است که ما به دنبال آن بودیم.