توابع مثلثاتی

در ریاضیات ، توابع مثلثاتی (که به آن توابع دایره ای نیز گفته می شود) توابع یک زاویه هستند. آنها در مطالعه مثلث ها و مدل سازی پدیده های دوره ای از جمله بسیاری از کاربردهای دیگر مهم هستند. توابع مثلثاتی معمولاً به عنوان نسبت دو طرف یک مثلث راست حاوی زاویه تعریف می شوند و می توانند به طور معادل آن به عنوان طول بخش های مختلف خط از یک دایره واحد تعریف شوند. تعاریف مدرن تر آنها را به عنوان سری نامتناهی یا به عنوان راه حل های معادلات دیفرانسیل خاص بیان می کند ، و این امکان را می دهد تا به مقادیر مثبت و منفی دلخواه و حتی به اعداد پیچیده بپردازند.

توابع سینوسی ، مماس و Secant یک زاویه از نظر یک دایره واحد از نظر هندسی ساخته شده است. تعداد θ طول منحنی است. بنابراین زاویه ها در رادیان اندازه گیری می شوند. توابع Secant و Tangent به یک خط عمودی ثابت و عملکرد سینوس در یک خط عمودی در حال حرکت متکی هستند.("ثابت" در این زمینه به معنای حرکت نکردن به عنوان تغییر θ است ؛ "حرکت" به معنای بسته به θ است.) بنابراین ، همانطور که θ از 0 به یک زاویه راست می رود ، گناه θ از 0 به 1 می رود ، برنزه θ از 0 به 0 می رود∞ ، و sec θ از 1 به ∞ می رود.

توابع كسین ، كاتانژنت و كسكنت یك زاویه θ از نظر یك دایره واحد از نظر هندسی ساخته شده است. توابعی که نام آنها دارای پیشوند است از خطوط افقی استفاده می کنند که دیگران از خطوط عمودی استفاده می کنند.

در استفاده مدرن ، شش عملکرد اساسی مثلثاتی وجود دارد که در اینجا به همراه معادلات مربوط به آنها با یکدیگر جدول بندی می شوند. به خصوص در مورد چهار مورد آخر ، این روابط اغلب به عنوان تعاریف آن کارکردها صورت می گیرد ، اما می توان آنها را به همان اندازه به خوبی از نظر هندسی یا به روش های دیگر تعریف کرد و سپس این روابط را به دست آورد.

تاریخ

این مفهوم که باید مکاتبات استاندارد بین دو طرف یک مثلث وجود داشته باشد و زاویه های مثلث به محض تشخیص اینکه مثلث های مشابه بین دو طرف خود را حفظ می کنند ، می آید. یعنی برای هر مثلث مشابه نسبت هیپوتنوژن (برای مثال) و دیگری از طرفین یکسان است. اگر هیپوتنوز دو برابر طول بکشد ، طرفین نیز همینطور هستند. این فقط این نسبت ها است که توابع مثلثاتی بیان می کنند.

Madhava از Sangamagramma (حدود 1400) در تجزیه و تحلیل توابع مثلثاتی از نظر سری بی نهایت گام های اولیه را انجام داد. مقدمه لئونارد اویلر در آنالیزین infinitorum (1748) بیشتر مسئول ایجاد درمان تحلیلی عملکردهای مثلثاتی در اروپا بود ، همچنین آنها را به عنوان سری نامتناهی تعریف می کرد و "فرمول اویلر" و همچنین مخفف های نزدیک مدرن گناه ، cos ، cos ، cos ، cos ، cos ، cos. Tang. ، Cot. ، Sec. ، and Cosec.

چند کارکرد از نظر تاریخی متداول بود (و در اولین جداول ظاهر شد) ، اما اکنون به ندرت مورد استفاده قرار می گیرند ، مانند وتر (CRD (θ) = 2 گناه (θ/2)) ، Versine (Versin (θ) = 1-cos (θ) = 2 sin 2 (θ/2)) ، haversine (haversin (θ) = versin (θ)/2 = sin 2 (θ/2)) ، exsecant (exsec (θ) = sec (θ) - 1) و excosecant (excsc (θ) = exsec (π/2 - θ) = csc (θ) - 1). روابط بسیاری بین این توابع در مقاله در مورد هویت های مثلثاتی ذکر شده است.

تعاریف مثلث راست

یک مثلث راست همیشه شامل یک زاویه 90 درجه (π/2 رادیان) است ، در اینجا با برچسب C. زاویه های A و B ممکن است متفاوت باشد. توابع مثلثاتی روابط بین طول سمت و زوایای داخلی یک مثلث راست را مشخص می کند.

به منظور تعریف توابع مثلثاتی برای زاویه A ، با یک مثلث راست خودسرانه که حاوی زاویه A است ، شروع کنید:

ما از نام های زیر برای طرف های مثلث استفاده می کنیم:

• Hypotenuse طرف مقابل زاویه راست است ، یا به عنوان طولانی ترین طرف یک مثلث زاویه دار راست ، در این مورد H تعریف شده است.
• طرف مقابل طرف مقابل زاویه ای است که ما به آن علاقه مند هستیم ، در این حالت a.
• طرف مجاور طرفی است که با زاویه ای که ما به آن علاقه مند هستیم و زاویه مناسب در تماس است ، از این رو نام آن است. در این حالت طرف مجاور b است.

تمام مثلث ها در صفحه اقلیدسی وجود دارند به طوری که زاویه های داخلی هر مثلث به Radians π (یا 180 درجه). بنابراین ، برای یک مثلث راست ، دو زاویه غیر راست بین رادیان صفر و π/2 (یا 90 درجه) قرار دارند. خواننده باید توجه داشته باشد که تعاریف زیر ، به طور دقیق ، فقط توابع مثلثاتی را برای زوایای موجود در این محدوده تعریف می کند. ما آنها را با استفاده از دایره واحد ، یا با نیاز به تقارن خاص و این که عملکردهای دوره ای دارند ، به مجموعه کامل استدلال های واقعی گسترش می دهیم.

1) سینوس یک زاویه نسبت طول طرف مقابل به طول هیپوتنوز است. در مورد ما

توجه داشته باشید که این نسبت به مثلث راست خاص انتخاب شده بستگی ندارد ، تا زمانی که حاوی زاویه A باشد ، زیرا تمام این مثلث ها مشابه هستند.

مجموعه صفرهای سینوسی (یعنی مقادیر مقادیر$x$برای کدام$sin\; x\; =\; 0$) است

2) كسین یك زاویه نسبت طول طرف مجاور به طول هیپوتنوز است. در مورد ما

مجموعه صفرهای سسین است

3) مماس یک زاویه نسبت طول طرف مقابل به طول طرف مجاور است. در مورد ما

مجموعه صفرهای مماس است

همان مجموعه عملکرد سینوسی از آنجا

سه عملکرد باقیمانده با استفاده از سه عملکرد فوق به بهترین وجه تعریف می شوند.

4) coscant csc (a) معکوس چند برابر گناه (a) است ، یعنی نسبت طول هیپوتنوز به طول طرف مقابل:

5) SECANT SEC (A) معکوس چند برابر COS (A) است ، یعنی نسبت طول هیپوتنوژ به طول طرف مجاور:

6) تختخواب cotangent (a) معکوس چند برابر برنزه (a) است ، یعنی نسبت طول طرف مجاور به طول طرف مقابل:

$cot\; A\; =\; frac>>=\; frac.$

تعاریف شیب

معادل تعاریف مثلث راست ، توابع مثلثاتی را می توان از نظر ظهور ، اجرا و شیب یک بخش خط نسبت به برخی از خط افقی تعریف کرد. این شیب معمولاً به عنوان "افزایش بیش از حد" یا افزایش/اجرا آموزش داده می شود. سه عملکرد اصلی مثلثات معمولاً به ترتیب به ترتیب سینوسی ، كسین ، مماس آموزش داده می شود. با یک دایره واحد ، مکاتبات زیر تعاریف وجود دارد:

1. سینوسی اول است ، ظهور اول است. سینوس زاویه ای می گیرد و به ظهور می گوید.
2. Cosine دوم است ، Run دوم است.cosine یک زاویه می گیرد و به اجرا می گوید.
3. Tangent فرمول شیب است که ترکیبی از ظهور و اجرا است. مماس زاویه ای می گیرد و شیب را می گوید.

این استفاده اصلی از مماس و arctangent را نشان می دهد: تبدیل بین دو روش گفتن شیب یک خط ، یعنی زاویه ها و دامنه ها.:

در حالی که شعاع دایره هیچ تفاوتی برای شیب ایجاد نمی کند (شیب به طول خط شیب بستگی ندارد) ، این امر بر افزایش و اجرا تأثیر می گذارد. برای تنظیم و پیدا کردن ظهور واقعی و اجرا ، فقط سینوس و کازین را توسط شعاع ضرب کنید. به عنوان مثال ، اگر دایره دارای شعاع 5 باشد ، اجرای با زاویه 1 درجه 5 درجه سانتیگراد (1 درجه) است

تعاریف دایره واحد

شش عملکرد مثلثاتی نیز می تواند از نظر دایره واحد ، دایره شعاع یک محور در مبدا تعریف شود. تعریف دایره واحد در روش محاسبه عملی کمی ارائه می دهد. در واقع برای اکثر زوایا به مثلث های راست متکی است. با این حال ، تعریف حلقه واحد ، تعریف توابع مثلثاتی را برای همه استدلال های مثبت و منفی ، نه فقط برای زاویه های بین 0 تا π/2 رادیان مجاز می کند. همچنین یک تصویر تصویری واحد را ارائه می دهد که به یکباره تمام مثلث های مهم را محصور می کند. از قضیه فیثاغوری معادله برای دایره واحد:

در تصویر ، برخی از زوایای مشترک ، که در رادیان اندازه گیری می شوند ، آورده شده است. اندازه گیری در جهت خلاف جهت عقربه های ساعت زاویه های مثبت است و اندازه گیری ها در جهت عقربه های ساعت زاویه های منفی هستند. بگذارید یک خط از طریق منشأ ، زاویه ای از θ با نیمی از مثبت x-axis ایجاد کند ، از دایره واحد عبور می کند. کوردین های X - و y از این نقطه از تقاطع به ترتیب با cos θ و sin θ برابر هستند. مثلث موجود در گرافیک فرمول را تقویت می کند. شعاع برابر با هیپوتنوز است و دارای طول 1 است ، بنابراین ما گناه θ = y /1 و cos θ = x /1 داریم. دایره واحد را می توان به عنوان راهی برای نگاه کردن به تعداد نامتناهی مثلث ها با تغییر طول پاهای آنها اما نگه داشتن طول هیپوتنوس های آنها برابر با 1 تصور کرد.

برای زاویه های بیشتر از 2π یا کمتر از 2 π ، به سادگی به چرخش در اطراف دایره ادامه دهید. به این ترتیب ، سینوسی و کسین با دوره 2π به عملکردهای دوره ای تبدیل می شوند:

$sin\; theta\; =\; sin\; چپ\; (\; theta\; +\; 2\; pi\; k\; راست)$ $cos\; theta\; =\; cos\; سمت\; چپ\; (\; theta\; +\; 2\; pi\; k\; راست)$

برای هر زاویه θ و هر عدد صحیح k.

کوچکترین دوره مثبت یک عملکرد دوره ای ، دوره ابتدایی عملکرد نامیده می شود. دوره ابتدایی سینوسی ، کاسین ، ساکنان یا cosecant یک دایره کامل است ، یعنی رادیان 2π یا 360 درجه. دوره ابتدایی مماس یا cotangent فقط یک نیم دایره ، یعنی رادیان π یا 180 درجه است. در بالا ، فقط سینوسی و کسین به طور مستقیم توسط دایره واحد تعریف شده اند ، اما چهار عملکرد مثلثاتی دیگر را می توان با: تعریف کرد:

tan theta = frac quad sec theta = frac csc theta = frac quad cot theta = frac

در سمت راست تصویری است که نمودار قابل ملاحظه ای از عملکرد مثلثاتی f (θ) = برنزه (θ) را که در صفحه دکارتی قرار گرفته است ، نشان می دهد. توجه داشته باشید که رهگیری های X آن مطابق با گناه (θ) است در حالی که مقادیر نامشخص آن با رهگیری های X COS (θ) مطابقت دارد. مشاهده کنید که نتایج عملکرد به آرامی در اطراف زاویه K π تغییر می کند ، اما به سرعت در زاویه های نزدیک (K + 1/2) π تغییر می کند. نمودار عملکرد مماس همچنین دارای یک مجانب عمودی در θ = (K + 1/2) π است. این مورد به این دلیل است که عملکرد با نزدیک شدن به θ (k + 1/2) π از سمت چپ و منهای بی نهایت با نزدیک شدن به آن نزدیک می شود (K + 1/2) π از سمت راست.

از طرف دیگر ، تمام عملکردهای اساسی مثلثات را می توان از نظر یک دایره واحد با محوریت O (نشان داده شده در سمت راست ، در نزدیکی بالای صفحه) تعریف کرد ، و از چنین تعاریف هندسی از لحاظ تاریخی استفاده شد. به طور خاص ، برای وتر AB از دایره ، که در آن θ نیمی از زاویه زیرزمینی است ، گناه (θ) AC (نیمی از وتر) است ، تعریفی که در هند معرفی شده است (به بالا مراجعه کنید).cos (θ) فاصله افقی OC است ، و در مقابل (θ) = 1 - cos (θ) CD است. برنزه (θ) طول قطعه AE از خط مماس از طریق A است ، از این رو کلمه مماس برای این عملکرد است.cot (θ) یکی دیگر از بخش های مماس است ، AF. Sec (θ) = OE و CSC (θ) = بخش هایی از خطوط Secant (تقاطع دایره در دو نقطه) هستند ، و همچنین می توان به عنوان پیش بینی OA در امتداد مماس در A به محورهای افقی و عمودی مشاهده کرد. de exsec (θ) = sec (θ) - 1 (قسمت Secant در خارج یا سابق دایره). از این سازه ها ، به راحتی می توان فهمید که توابع Secant و مماس با نزدیک شدن θ π/2 (90 درجه) واگرایی می کنند و با نزدیک شدن به صفر ، کاستان و cotangent واژگون می شوند.(بسیاری از سازه های مشابه امکان پذیر است ، و هویت های اساسی مثلثات نیز می توانند به صورت گرافیکی اثبات شوند.)

تعاریف سری

تابع سینوس (آبی) با چند جمله ای تیلور درجه 7 (صورتی) برای یک چرخه کامل با محوریت مبدأ تقریب نزدیکی دارد.

فقط با استفاده از هندسه و خواص حدود می توان نشان داد که مشتق سینوس کسینوس و مشتق کسینوس منفی سینوس است.(در اینجا و به طور کلی در حساب دیفرانسیل و انتگرال، همه زوایا بر حسب رادیان اندازه گیری می شوند؛ همچنین اهمیت رادیان ها را در زیر ببینید.) سپس می توان از نظریه سری تیلور برای نشان دادن اینکه هویت های زیر برای همه اعداد حقیقی x صدق می کند استفاده کرد:

این هویت ها اغلب به عنوان تعاریف تابع سینوس و کسینوس در نظر گرفته می شوند. آنها اغلب به عنوان نقطه شروع در درمان دقیق توابع مثلثاتی و کاربردهای آنها (مثلاً در سری فوریه) استفاده می شوند، زیرا نظریه سری های نامتناهی را می توان از پایه های سیستم اعداد واقعی، مستقل از هرگونه ملاحظات هندسی توسعه داد. سپس تمایز پذیری و تداوم این توابع تنها از روی تعاریف سری مشخص می شود.

سری های دیگر را می توان یافت: [1]

U_nn امین عدد بالا/پایین، B است_nn امین عدد برنولی است و E_n(در زیر) عدد اویلر n است.

وقتی این به شکلی بیان می شود که در آن مخرج ها فاکتوریل های متناظر هستند، و صورت هایی که «اعداد مماس» نامیده می شوند، یک تفسیر ترکیبی دارند: آن ها جایگشت های متناوب مجموعه های محدودی از کاردینالیته فرد را برمی شمارند.

هنگامی که این به شکلی بیان می شود که در آن مخرج ها فاکتوریل های متناظر هستند، اعدادی که «اعداد مقطعی» نامیده می شوند، تفسیر ترکیبی دارند: آن ها جایگشت های متناوب مجموعه های متناهی با اصل زوج را برمی شمارند.

از یک قضیه در تحلیل مختلط، یک گسترش تحلیلی منحصر به فرد از این تابع واقعی به اعداد مختلط وجود دارد. آنها سری تیلور یکسانی دارند و بنابراین توابع مثلثاتی بر روی اعداد مختلط با استفاده از سری تیلور بالا تعریف می شوند.