سری - تست های همگرایی/واگرایی

where a 0> is the first term in the series (if the index starts at k = 2 or k = 6 , then " a 0> " is actually the first term a 2> or a 6>، به ترتیب).

P-series. اینها مجموعه ای از فرم هستند

If p> 1 1>، سپس این سریال همگرا است. از طرف دیگر ، اگر P ≤ 1 ، p-series واگرا است.

تست واگرایی

توجه داشته باشید: نتیجه مخالفنمی کند allow you to conclude a series converges. If lim k → ∞ a k = 0 a_=0>>، این فقط نشانگر این سریال استممکنهمگرا شوید ، و شما هنوز هم باید آن را از طریق آزمایش دیگری تأیید کنید.

به طور خاص ، دنباله<1 k>> ight>>به صفر همگرا می شود ، اما مبلغ ∑ k = 0 ∞ 1 k ^<infty>>>، سری هارمونیک ما ، واگرایی می کند.

آزمون انتگرال

Suppose the function f ( x ) is continuous, positive and decreasing on some interval [ c , ∞ ) with c ≥ 1 , and let a k = f ( k ) =f(k)>بشرسپس سری ∑ k = b ∞ a k ^<infty>a_>همگرا است اگر و فقط اگر C ≥ B و

همگرا است (بی نهایت).

توجه داشته باشید: این آزمایش ، مانند بسیاری از آنها ، چند مورد خاص دارد. برای استفاده از آن در آزمون ، باید بیان کنید/نمایش دهید:

• برای تمام k ≥ c برای برخی از c ≥ b ، عملکرد مثبت است.(بیشتر اوقات ، C فقط شاخص شروع من است).
• برای همه k ≥ c ، عملکرد در حال کاهش است.
• انتگرال همگرا است (یا واگرا ، اگر در حال اثبات واگرایی هستید).

سپس ، می توانید بگویید ، "با آزمایش انتگرال ، این سری همگرا (یا واگرا) است."

من این را با C به جای B نوشتم تا یک محدوده پایین تر نشان دهدشما فقط باید سری را نشان دهید و عملکرد "در نهایت" کاهش یافته ، مثبت و غیره هستندبشربه عبارت دیگر ، ما اهمیتی نمی دهیم که در ابتدا (یا سر) یک سری اتفاق می افتد - فقط در پایان (یا دم).

آزمون مقایسه

فرض کنید ∑ k = 1 ∞ b k ^<infty>b_>یک سریال استبا شرایط مثبت، و ∑ k = 1 ∞ a k ^<infty>a_>یک سریال استدر نهایت اصطلاحات مثبتبشرسپس

توجه داشته باشید: الزامات این آزمون شامل نمایش (یا حداقل بیان) است:

• For all k ≥ c for some c greater than or equal to our starting index, a k>مثبت است(بیشتر اوقات ، C فقط شاخص شروع است.)

• For all k ≥ c , a k ≤ b k leq b_> for convergence, or a k ≥ b k geq b_>برای واگرایی
• (این مهم است) بیان کنید که چرا ∑ k = 1 ∞ b k ^<infty>b_> is convergent, such as a p -series with p> 1 1>، یا یک سری هندسی با |r |<1 . Obviously, you would need to state why it is divergent if you're showing it's divergent.

سپس ، می توانید بگویید ، "با تست مقایسه ، این سریال همگرا (یا واگرا) است."

آزمون مقایسه حد

فرض کنید ∑ k = 1 ∞ a k ^<infty>a_>و ∑ k = 1 ∞ b k ^<infty>b_>سری با اصطلاحات مثبت است. اگر lim k → ∞ A k b k = c<frac >=c>جایی که 0

توجه داشته باشید: اول از همه ، بیایید ایده اساسی را در اینجا ذکر کنیم. اگر برخی از سری ∑ k = 1 ∞ b k ^<infty>b_>همگرا ، سپس ∑ K = 1 ∞ C B K ^<infty>cb_>همگرا جایی که C ≠ ± ثابت است. این آزمون نشان می دهد که یک سریدر نهایتدقیقاً مانند دیگری است که توسط یک ثابت ضرب شده است ، و به همین دلیل در صورت مقایسه با همگرا/واگرایی ، همگرا/واگرایی نیز می شود. برای استفاده از آن ، شما باید بیان کنید/نمایش دهید:

• a k>سرانجام مثبت است (واقعاً غیر منفی).

• lim k → ∞ a k b k = c>>>>=c> .

• حالت چرا ∑ k = 1 ∞ b k ^<infty>b_> is convergent, such as a p -series with p> 1 1>، یا یک سری هندسی با |r |<1 . Obviously, you would need to state why it is divergent if you're showing it's divergent.

سپس ، می توانید بگویید ، "با تست مقایسه حد ، این سری همگرا (یا واگرا) است."

Like the Comparison Test and the Integral Test, it's fine if the first terms are kind of "wrong" - negative, for example - as long as they eventually wind up (for k> c c>برای یک ج) پاسخگویی به الزامات.

تست سری متناوب

سپس این سریال همگرا است.

توجه داشته باشید: این یک تست نسبتاً مستقیم است. شما فقط باید دو کار انجام دهید:

• ذکر کنید که این سریال متناوب است (حتی اگر معمولاً آشکار باشد).

• حد همگرایی را به صفر نشان دهید.

سپس ، می توانید بگویید ، "با تست سری متناوب ، این سریال همگرا است."

به عنوان یک جزئیات اضافی ، اگر نتواند به صفر همگرایی کند ، پس می گویید که با تست واگرایی متفاوت است ،نهتست سری متناوب.

آزمون نسبت

• اگر lim k → ∞ |A K + 1 A K |= L<1 left|>>> RIGHT | = L ، این سریال کاملاً همگرا (و بنابراین همگرا) است.

• If lim k → ∞ | a k + 1 a k | = L> 1 left|>>> ight|=L>1> or lim k → ∞ | a k + 1 a k | = L = ∞ left|>>> ight|=L=infty>، این سریال واگرا است.

• If lim k → ∞ | a k + 1 a k | = L = 1 left|>>> ight|=L=1>، آزمون نسبت بی نتیجه است.

توجه داشته باشید: هم این و هم تست ریشه کمترین شرایط را دارند. آزمون نسبتمیکندنیاز دارد که چنین محدودیتی وجود داشته باشد ، بنابراین یک سریال مانند

نمی توان همانطور که با آزمون نسبت نوشته شده است ارزیابی کرد ، زیرا تقسیم صفر تعریف نشده است. ممکن است شما استدلال کنید که این همان مبلغ است

و سپس می توانید آزمون نسبت را اعمال کنید.

تست ریشه

این سریال واگرا است.

کمک های این صفحه توسط جان سیمانی انجام شده است