12 روز کریسمس مثلثی پاسکال

مایکل رز کار نمی کند ، مشورت می کند ، سهام خود را در اختیار شما قرار نمی دهد یا از هر شرکت یا سازمانی که از این مقاله بهره مند شود ، بودجه دریافت می کند و از این مقاله بهره می برد و هیچ وابستگی مربوط به آن فراتر از قرار ملاقات دانشگاهی خود را فاش نکرده است.

شرکای

دانشگاه نیوکاسل بودجه را به عنوان عضو مکالمه AU تأمین می کند.

یکی از جادویی ترین جنبه های ریاضیات ، توانایی ساختارهای پیچیده و پیچیده برای ظهور از ساده ترین قوانین است. تعداد کمی از اشیاء ریاضی ساده تر برای ایجاد - و تعداد کمی از آنها با انواع مختلفی از الگوهای پیچیده - به عنوان مثلث شگفت انگیز پاسکال.

برای ساختن مثلث Pascal خود ، تمام آنچه شما نیاز دارید یک قلم و کاغذ و یک قانون بسیار ساده است - هر شماره در مثلث مجموع دو عدد است که مستقیماً بالای آن قرار دارد. اعداد را مانند آجر در یک دیوار خط کنید ، 1s را در قسمت بیرونی هر ردیف قرار دهید و اضافه کنید - مانند این:

بلیز پاسکال یک ریاضیدان فرانسوی قرن هفدهم بود. او در درجه اول علاقه مند به استفاده از مثلث برای پیشبرد تحصیلات خود در تئوری احتمال - زمینه ای بود که وی کم و بیش در مکاتبات با پیر د فرمات اختراع کرد ، پس از آنکه یک دوست قمار از پاسکال خواست تا در مورد چگونگی تقسیم دو بازیکن تاس در صورت تقسیم گلدان در صورتی ، از پاسکال استفاده کند. بازی آنها زود قطع شد.

اگرچه ساخت آن ساده است ، مثلث بسیاری از الگوهای شگفت آور را پنهان می کند. بنابراین ، با عذرخواهی از کارولهای عامیانه به طور کلی و فردریک آستین به ویژه ...

در روز اول کریسمس ، مثلث به من داد ...

شمارش اعداد (با تقارن)

دو الگوی فوری که از مثلث خارج می شوند ، تقارن دو طرفه آن است - نیمه های چپ و راست درخت کاملاً یکدیگر را آینه می کنند - و دید شماره های شمارش آشنا که از هر طرف به سمت مورب های داخلی می روند.

در روز دوم کریسمس ، مثلث به من داد ...

قدرت دو

اضافه کردن تمام اعداد در هر سطر ، تمام قدرتهای دو را نشان می دهد (و نشان می دهد که 2 به قدرت 0 واقعاً می خواهد برابر با 1 باشد).

در روز سوم کریسمس ، مثلث به من داد ...

اعداد مثلثی

ما قبلاً شماره های شمارش را در طول مورب داخلی اول دیده ایم - اکنون بیایید توجه خود را به مورب دوم معطوف کنیم. فرض کنید امسال چیزهای کریسمس را برای دوستان و خانواده در حال پختن هستید و مثلث در ذهن خود دارید. به چند مورد نیاز به پخت نیاز دارید تا بعداً بتوانید آنها را در یک الگوی مثلثی ترتیب دهید؟

از نظر فنی یک درمان انجام خواهد داد ، اما این همان چیزی است که ریاضیدانان مثلث بی اهمیت می نامند (دوستان شما ممکن است از اصطلاح رنگارنگ تری استفاده کنند). سه نفر بهتر خواهند بود.

شما می توانید مثلث هدیه خود را با اضافه کردن سه (در مجموع شش) در زیر مثلث کوچک اصلی خود رشد دهید - یا هنوز هم با اضافه کردن چهار مورد دیگر (برای کل ده).

اعدادی که برای ایجاد مثلث به نقطه شیرین رسیده اند ، به طور مناسب با نام های مثلثی نامگذاری شده اند و از هر طرف مورب های داخلی دوم ظاهر می شوند.

در روز چهارم کریسمس ، مثلث به من داد ...

فیبوناچی

دنباله اعداد فیبوناچی با 1 و 1 شروع می شود ، سپس هر شماره بعدی مجموع دو عدد است که بلافاصله قبل از آن آمده است. آنها برای اولین بار در سال 1202 توسط فیبوناچی (یا لئوناردو از پیزا) ، در زمینه خرگوش هایی که می توانستند ضرب را به سرعت انجام دهند ، توصیف شده است.

آنها مشکل دارند که در مثلث پاسکال قرار بگیرند ، اما می توان آنها را از مخفی کردن جدا کرد! می توانید آنها را در "مورب های کوتاه" مثلث پراکنده پیدا کنید - اضافه کردن اعداد موجود در این مورب های کوتاه به شما امکان می دهد تا شماره های فیبوناچی را با هم خرد کنید.

در روز پنجم کریسمس ، مثلث به من داد ...

Prime… چیزهای Num-Ber!

اگر هر شماره را در ردیف های N اول اضافه کنید ، شماره Mersee را به دست می آورید (این شماره ای است که 1 از 2 به قدرت N می رسد). اعداد مرسن در حاشیه تحقیقات ریاضی برای یافتن اعداد اصلی بسیار زیاد استفاده می شود ، زیرا آنها ویژگی بسیار جالبی دارند: اگر N تعداد اصلی باشد ، هر چند وقت یک نفر نهم Mersee نیز برتر خواهد بود.

به عنوان مثال ، اضافه کردن تمام اعداد در 5 ردیف اول مثلث پاسکال ، شماره 5 مرسن را به ما می دهد ، 31 (که 1 کمتر از 2 به قدرت 5 است). از آنجا که 5 عدد اصلی است ، این احتمال وجود دارد که 31 ممکن است یک شماره اصلی نیز باشد ... و همین اتفاق می افتد که چنین باشد. تا به امروز ، بزرگترین شناخته شده Mersee Prime (2 به قدرت 20996011) منهای 1 - شماره ای با 6320430 رقم!

یکی دیگر از الگوهای اصلی Pascal موارد زیر است - اگر به یک ردیف نگاه کنید که شماره شمارش در اولین مورب داخلی نخست باشد (مانند 7) ، پس هر شماره دیگر در آن ردیف مثلث چند مورد از آن نخست وزیر خواهد بودعدد. به جز 1s در خارج ، یعنی.

در روز ششم کریسمس ، مثلث به من داد ...

گلبرگهای در هم تنیده

هر عددی را در داخل مثلث پاسکال انتخاب کنید و به شش عدد اطراف آن نگاه کنید (که گلبرگ های متناوب را در گل های کشیده شده در بالا تشکیل می دهند). اگر اعداد را در هر گلبرگ دوم ضرب کنید، مهم نیست که از کدام یک از گلبرگ ها شروع کنید، به همان پاسخ خواهید رسید.

در روز هفتم کریسمس، مثلث به من داد…

علاوه بر چوب هاکی

با شروع از هر یک از 1 ها در بیرونی ترین لبه، هر تعداد که دوست دارید در یکی از مورب ها با هم جمع کنید. هر جا توقف کنید، متوجه خواهید شد که مجموع شما فقط یک گام مورب بیشتر منتظر است - در جهت مخالف جایی که در حال حرکت بودید (از این رو الگوی "چوب هاکی").

در هشتمین روز کریسمس، مثلث به من داد…

مربع کردن از طریق جمع

هر عدد شمارشی را از امتداد مورب اول انتخاب کنید و آن را مربع کنید. سپس به دو همسایه آن که عمیق تر در داخل مثلث قرار دارند نگاه کنید - آنها همیشه به همان عدد مربع جمع می شوند.

در نهمین روز کریسمس، مثلث به من داد…

ضرایب دو جمله ای

مثلث پاسکال حتی می تواند برخی از جبر مخوف دبیرستان را بسیار آسان کند.

اگر در موقعیت ناخوشایندی قرار گرفتید که باید (x+y) را به توان n بسط دهید، می توانید از تمام کارهای وحشتناک برای رسیدن به پاسخ بگذرید.

با گذاشتن تمام n از x ضرب شده در یکدیگر شروع کنید، و همانطور که از چپ به راست حرکت می کنید، یک x را بردارید و آن را با یک y جایگزین کنید تا زمانی که هیچ x باقی نماند.

هنگامی که همه این عبارت ها را جمع کردید، تنها کاری که باید انجام دهید این است که ضرایب مناسب را پر کنید. این سخت ترین بخش تمرین خواهد بود... اگر این واقعیت نبود که می توانید آنها را مستقیماً از مثلث پاسکال بخوانید! فقط به خطی بروید که در اولین مورب داخلی n دارد و آنها منتظر شما خواهند بود.

راز این میانبر جادویی، قضیه دوجمله ای برای بسط براکت ها است - همراه با این واقعیت که ارقام در مثلث پاسکال واقعاً ترکیب هایی در مبدل هستند…

در دهمین روز کریسمس، مثلث به من داد…

همه ترکیبات

اجازه دهید به طور خلاصه به ریشه های تاریخی مثلث پاسکال بازگردیم. همانطور که در بالا ذکر شد، تمام اعداد در مثلث پاسکال در واقع با ترکیب ها مطابقت دارند - یعنی دقیقاً به ما می گویند که با چند روش می توانیم یک گروه کوچک از اشیاء را از یک گروه بزرگتر انتخاب کنیم (اگر ترتیب انتخاب چیزها مطابقت نداشته باشد. موضوع).

ترکیبات برای نظریه پردازان احتمالی و دوستان قمار آنها بسیار مهم است ، زیرا شمارش تعداد راه هایی که می تواند اتفاق بیفتد ساده ترین روش برای تعیین احتمال وقوع آن است.

ترکیبات را می توان به روشهای مختلفی نوشت ، اما رایج ترین علامت گذاری این است که دو عدد را در یک جفت پرانتز قرار دهید - یکی در بالا (برای گفتن تعداد اشیاء) و دیگری در شماره پایین (فقط به ما بگوییدچه تعداد از این اشیاء را می خواهیم انتخاب کنیم). و این ترکیبات کاملاً با مثلث پاسکال مطابقت دارد - شماره برتر با ردیف مثلث مطابقت دارد و شماره پایین به ما می گوید تا چه حد در امتداد ردیف حرکت کنیم.

به عنوان مثال ، می گویند ما 5 قطعه میوه و سبزیجات داریم: یک pple ، a b anana ، a c arrot ، a d urian و یک gglant. ما می خواهیم 2 مورد از آنها را برای استفاده در آشپزی خود انتخاب کنیم. چند گزینه ممکن را می توانیم انجام دهیم؟

ما می توانیم تمام امکانات را با دقت لیست کنیم (به یاد داشته باشید که سفارش مهم نیست) - پس از آن ما AB ، AC ، AD ، AE ، BC ، BD ، BE ، CD ، CE ، DE و در کل 10 امکان را خواهیم داشت. از طرف دیگر ، ما می توانیم 5 ردیف (از 0) و در 2 مکان (دوباره از 0 شروع می شود) در مثلث پاسکال حساب کنیم - و همچنین به شماره 10 می رسیم.

در یازدهمین روز کریسمس ، مثلث به من داد ...

قدرت یازده

برای یک ترفند مهمانی مخصوصاً جالب ، نگاه کنید که چه اتفاقی می افتد وقتی همه شماره ها را در یک ردیف معین با هم جمع می کنید تا یک عدد بزرگ را بسازید. در واقع ، ما باید هنگام برخورد با شماره های دو رقمی و موارد مشابه ، کمی مراقب باشیم-به جای اینکه فقط آنها را با هم چسباند ، ما رقم اضافی را به سمت چپ حرکت خواهیم داد (به روشی مشابه با علاوه بر مدرسه ابتدایی).

به عنوان نمونه ، هنگام چسباندن ردیف 1-4-6-4-1 در کنار هم ، ما فقط با شماره 14641 به پایان می رسیم. 10 ثانیه به 1 (که به شماره سمت چپ اضافه می شود) و 0 (که قرار می گیرد).

پس از تقسیم 10 به این روش ، ردیف 1- (5+1)-(0) -10-5-1 می شود. هنگامی که 10 دوم تقسیم می شود ، ردیف به صورت 1- (5+1)-(0+1) -0-5-1 یا 1-6-1-0-5-1 به پایان می رسد و ما به پایان می رسیمشماره 161051 (انجام این کار بسیار ساده تر از توصیف آن است ، به من اعتماد کنید!).

درست همانطور که ترکیب اعداد در یک ردیف با اضافه کردن آنها ، قدرت دو را به ما می دهد ، ترکیب اعداد در یک ردیف با جمع کردن آنها با هم مانند این ، قدرت یازده را به ما می دهد! همچنین توجه داشته باشید که 11 به قدرت 0 واقعاً می خواهد برابر با 1 باشد ...

در دوازدهمین روز کریسمس ، مثلث به من داد ...

Fractal Sierpinski!

اکنون برای الگوی مورد علاقه Pascal مورد علاقه من-من هرگز از این که چگونه مثلث Fractal مورد علاقه من در همه زمان ها به طرز حیرت انگیزی خود را در مثلث Pascal پنهان می کند ، متحیر نمی شوم.

مثلث سیپینسکی شکلی است که هنگام گرفتن مثلث یک طرفه به دست می آورید ، قطعه میانی را بریزید ، سپس قطعات میانی را از تمام مثلث های کوچکتر که باقی مانده است جدا کنید ، سپس برای همیشه ادامه دهید (یا تا زمانی که خسته نشوید).

چگونه این مربوط به مثلث پاسکال است؟نگاه کنید که چه اتفاقی می افتد وقتی که در تمام اعداد عجیب و غریب با یک رنگ سایه می زنید و تمام اعداد حتی با رنگ متفاوت!

با آرزوی کریسمس مبارک و سال نو مبارک. تعطیلات شما پر از ریاضیات سرگرم کننده و تشویق خوب باشد! و ممکن است کارول های شما از این پس توسط ریاضیدانان دست نخورده باشند.