چگونه حجم پایه در روش جدید محاسبه می شود؟

یادداشت های اندازه گیری و عدم اطمینان

گزارش اندازه گیری و نتایج تجربی

بهترین تخمین ± عدم اطمینان

هنگامی که دانشمندان اندازه گیری را انجام می دهند یا مقداری از داده های خود را محاسبه می کنند ، آنها به طور کلی فرض می کنند که برخی از ارزش های دقیق یا "واقعی" بر اساس نحوه تعریف آنچه اندازه گیری می شود (یا محاسبه می شود) وجود دارد. دانشمندان گزارش نتایج خود معمولاً طیف وسیعی از مقادیر را مشخص می کنند که انتظار دارند این "مقدار واقعی" در آن قرار بگیرد. متداول ترین روش برای نشان دادن دامنه مقادیر:

مثال: اندازه گیری 5. 07 گرم ± 0. 02 گرم به این معنی است که آزمایشگر اطمینان دارد که مقدار واقعی برای مقدار اندازه گیری شده بین 5. 05 گرم و 5. 09 گرم است. عدم قطعیت بهترین تخمین آزمایشگر در مورد میزان آزمایشی از "مقدار واقعی" است.(هنر تخمین این عدم اطمینان است که تجزیه و تحلیل خطا در مورد آن چیست).

چند رقم باید نگه داشته شود؟

عدم قطعیت های تجربی باید به یک شکل مهم گرد شود. عدم قطعیت های تجربی ، از نظر طبیعت ، ناشناخته است. عدم قطعیت ها تقریباً همیشه به یک رقم قابل توجه نقل می شود (به عنوان مثال: 0. 05 S S). اگر عدم اطمینان با یک مورد شروع شود ، برخی دانشمندان عدم اطمینان را به دو رقم مهم نقل می کنند (به عنوان مثال: 0. 0012 کیلوگرم).

همیشه اندازه گیری آزمایشی را دور بزنید یا به همان مکان اعشاری مانند عدم قطعیت منجر شود. این گیج کننده است (و شاید نامشخص) که نشان می دهد شما رقم را در مکان صدها (یا هزارم) می دانید وقتی اعتراف می کنید که از مکان دهم مطمئن نیستید.

مقایسه اعداد آزمایش شده آزمایشی

برآورد عدم اطمینان برای مقایسه اعداد تجربی بسیار مهم است. آیا اندازه گیری 0. 86 ثانیه و 0. 98 S یکسان یا متفاوت است؟پاسخ بستگی به این دارد که این دو عدد دقیق هستند. اگر عدم اطمینان بیش از حد بزرگ باشد ، غیرممکن است که بگوییم تفاوت بین این دو عدد واقعی است یا فقط به دلیل اندازه گیری های شیب دار. به همین دلیل تخمین عدم اطمینان بسیار مهم است!

اگر دامنه دو مقدار اندازه گیری شده با هم همپوشانی نباشد ، اندازه گیری ها اختلاف دارند (دو عدد موافق نیستند). اگر دامنه ، اندازه گیری ها سازگار باشد.

تخمین عدم اطمینان از یک اندازه گیری واحد

در بسیاری از شرایط ، یک اندازه گیری واحد از یک مقدار اغلب برای اهداف اندازه گیری مورد نظر کافی است. اما اگر فقط یک اندازه گیری انجام دهید ، چگونه می توانید عدم اطمینان در آن اندازه گیری را تخمین بزنید؟تخمین عدم اطمینان در یک اندازه گیری واحد نیاز به قضاوت از طرف آزمایشگر دارد. عدم اطمینان از یک اندازه گیری واحد با دقت و صحت ابزار اندازه گیری محدود است ، همراه با سایر عوامل که ممکن است توانایی آزمایشگر در انجام اندازه گیری را تحت تأثیر قرار دهد و این آزمایش کننده است که عدم اطمینان را برآورد کند (مثالها را ببینیددر زیر)

مثال

با استفاده از چوب متر ، قطر یک توپ تنیس را اندازه گیری کنید. عدم اطمینان در این اندازه گیری چیست؟

حتی اگر MeterStick را می توان با نزدیکترین 0. 1 سانتی متر خواند ، احتمالاً نمی توانید قطر نزدیکترین 0. 1 سانتی متر را تعیین کنید.

• چه عواملی توانایی شما در تعیین قطر توپ را محدود می کند؟
• تخمین واقع بینانه تر از عدم اطمینان در اندازه گیری قطر توپ چیست؟

پاسخ ها: خطوط توپ را با علامت های روی خط کش سخت می کند و تصویر مبهم است. حتی اگر برای هر 0. 1 سانتی متر نشانه هایی در خط کش وجود داشته باشد ، فقط نشان در هر 0. 5 سانتی متر به وضوح نشان داده می شود. من می دانم که می توانم با اطمینان اندازه گیری کنم که لبه توپ تنیس در حدود نیمی از یکی از این مارک ها یا حدود 0. 2 سانتی متر است. لبه سمت چپ در حدود 50. 2 سانتی متر و لبه سمت راست در حدود 56. 5 سانتی متر است ، بنابراین قطر توپ در حدود 6. 3 سانتی متر ± 0. 2 سانتی متر است.

مثالی دیگر

سعی کنید ضخامت یک مورد CD را از این تصویر تعیین کنید.

• چگونه می توانید دقیق ترین اندازه گیری ضخامت یک مورد CD واحد را از این تصویر بدست آورید؟(حتی اگر حاکم مبهم باشد ، می توانید ضخامت یک مورد واحد را در کمتر از 0. 1 سانتی متر تعیین کنید.)
• برای تعیین ضخامت یک مورد واحد (و عدم اطمینان در آن اندازه گیری) از روشی که فقط توصیف کرده اید استفاده کنید
• چه فرض (های) ضمنی در مورد موارد CD انجام می دهید؟

پاسخ ها: بهترین راه برای انجام اندازه گیری اندازه گیری ضخامت پشته و تقسیم بر تعداد موارد موجود در پشته است. به این ترتیب ، عدم اطمینان در اندازه گیری در تمام 36 مورد CD پخش می شود. خواندن خط کش در تصویر هر نزدیکی از حدود 0. 2 سانتی متر دشوار است (مثال قبلی را ببینید). پشته از حدود 16. 5 سانتی متر شروع می شود و در حدود 54. 5 سانتی متر به پایان می رسد ، بنابراین پشته حدود 38. 0 سانتی متر ± 0. 2 سانتی متر طول دارد. طول پشته را بر اساس تعداد موارد CD در پشته (36) تقسیم کنید تا ضخامت یک مورد واحد را بدست آورید: 1. 056 سانتی متر ± 0. 006 سانتی متر. با "گسترش" عدم اطمینان در کل پشته موارد ، می توانید اندازه گیری دقیق تر از آنچه را می توان با اندازه گیری فقط یکی از موارد با همان حاکم تعیین کرد ، بدست آورید. ما فرض می کنیم که همه موارد ضخامت یکسان دارند و هیچ فضایی بین هیچ یک از موارد وجود ندارد.

تخمین عدم اطمینان از اندازه گیری های متعدد

افزایش دقت با اندازه گیری های متعدد

یکی از راه های افزایش اعتماد به نفس خود در داده های تجربی ، تکرار همان اندازه گیری بارها است. به عنوان مثال ، یکی از راه های تخمین میزان زمانی که اتفاق می افتد این است که به سادگی آن را یک بار با یک کرنومتر انجام دهید. شما می توانید با استفاده از این اندازه گیری مشابه چندین بار و میانگین آن ، عدم اطمینان را در این تخمین کاهش دهید. هرچه اندازه گیری های بیشتری انجام دهید (مشروط بر اینکه مشکلی در ساعت وجود ندارد!) ، تخمین شما بهتر خواهد بود.

انجام چندین اندازه گیری همچنین به شما امکان می دهد با بررسی چگونگی اندازه گیری قابل تکرار ، عدم اطمینان را در اندازه گیری های خود تخمین بزنید. چگونگی دقیق تخمین شما از زمان بستگی به گسترش اندازه گیری ها دارد (که اغلب با استفاده از آماری به نام انحراف استاندارد اندازه گیری می شود) و تعداد (n) اندازه گیری های مکرر که انجام می دهید.

مثال زیر را در نظر بگیرید: ماریا به موقع طول می کشد تا یک توپ فولادی از بالای یک میز به زمین بیفتد و با استفاده از همان کرنومتر. او داده های زیر را دریافت کرد:

با استفاده از پنج اندازه گیری ، ماریا در اندازه گیری زمان عدم اطمینان را به میزان قابل توجهی کاهش داده است. ماریا همچنین تخمین خام از عدم اطمینان در داده های خود دارد. بسیار محتمل است که زمان "واقعی" که توپ را به زمین می اندازد ، جایی بین 0. 29 ثانیه و 0. 54 ثانیه است. برای به دست آوردن یک تخمین پیچیده تر از عدم اطمینان ، آمار لازم است.

برخی از مفاهیم آماری

هنگام برخورد با اندازه گیری های مکرر ، سه مقدار مهم آماری وجود دارد: میانگین (یا میانگین) ، انحراف استاندارد و خطای استاندارد. اینها در جدول زیر خلاصه شده است:

داده های ماریا دوباره مورد بررسی قرار گرفت

آمار داده های کرنومتر ماریا در زیر آورده شده است:

کاملاً مشخص است که میانگین میانگین چیست ، اما آمار دیگر در مورد داده های ماریا چه می گوید؟

• انحراف استاندارد: اگر ماریا یک بار دیگر سقوط شیء را به پایان رساند ، یک فرصت خوب (حدود 70 ٪) وجود دارد که خواندن کرنومتر که او دریافت می کند ، در یک انحراف استاندارد از میانگین قرار خواهد گرفت. به عبارت دیگر ، دفعه بعد که او زمان پاییز را اندازه گیری می کند ، حدود 70 ٪ این احتمال وجود دارد که خواندن کرنومتر از او بین المللی باشد (0. 41 ثانیه - 0. 11 ثانیه) و (0. 41 S + 0. 11 ثانیه).
• خطای استاندارد: اگر ماریا تمام آزمایش (هر پنج اندازه گیری) را دوباره انجام داد ، یک فرصت خوب (حدود 70 ٪) وجود دارد که میانگین آن پنج اندازه گیری جدید در یک خطای استاندارد از میانگین باشد. به عبارت دیگر ، دفعه بعد ماریا هر پنج اندازه گیری را تکرار می کند ، میانگین او بین (0. 41 ثانیه - 0. 05 ثانیه) و (0. 41 S + 0. 05 ثانیه) خواهد بود.

محاسبه آمار با استفاده از اکسل

برنامه های صفحه گسترده (مانند مایکروسافت اکسل) می توانند آمار را به راحتی محاسبه کنند. پس از داشتن داده ها در اکسل ، می توانید از بسته آماری داخلی برای محاسبه میانگین و انحراف استاندارد استفاده کنید.

• سلول مورد نظر خود را انتخاب کنید (D1 در این مثال)
• نوع "= میانگین (A4: A8)"
• کلید Enter را فشار دهید

جایی که n تعداد مشاهدات است

عدم اطمینان در محاسبات

اگر می خواهید عدم اطمینان برای یک quanitity که از یک یا چند اندازه گیری محاسبه شده است ، تعیین کنید؟روشهای پیچیده و پیچیده تر برای انجام این کار وجود دارد. برای این دوره ، ما از یک دوره ساده استفاده خواهیم کرد. روش ارتفاعی از عدم اطمینان در محاسبات به طور رسمی صحیح نیست ، بلکه این کار را خواهد کرد. ایده اصلی این روش استفاده از محدوده عدم قطعیت هر متغیر برای محاسبه حداکثر و حداقل مقادیر عملکرد است. شما همچنین می توانید از این روش به عنوان استفاده از بهترین و بدترین سناریوها فکر کنید. برای نمونه ، اگر می خواهید مساحت یک مربع را پیدا کنید و یک طرف را به عنوان طول 1. 2 +/- 0. 2 متر و طول دیگر به عنوان 1. 3 +/- 0. 3 متر اندازه گیری کنید ، سپس منطقه خواهد بود:

a = l * w = 1. 2 * 1. 3 = 1. 56 m^2

حداقل مساحت با استفاده از اندازه گیری های "حداقل" بنابراین l = 1. 2 - 0. 2 = 1. 0 و W = 1. 3 - 0. 3 = 1. 0

بنابراین منطقه "حداقل" a-min = 1. 0 * 1. 0 = 1. 0 m^2 است

به همین ترتیب برای حداکثر مساحت ، L = 1. 2 + 0. 2 = 1. 4 و W = 1. 3 + 0. 3 = 1. 6 < Pan> اگر می خواهید عدم اطمینان را برای یک quanitity که از یک یا چند اندازه گیری محاسبه می شود ، تعیین کنید؟روشهای پیچیده و پیچیده تر برای انجام این کار وجود دارد. برای این دوره ، ما از یک دوره ساده استفاده خواهیم کرد. روش ارتفاعی از عدم اطمینان در محاسبات به طور رسمی صحیح نیست ، بلکه این کار را خواهد کرد. ایده اصلی این روش استفاده از محدوده عدم قطعیت هر متغیر برای محاسبه حداکثر و حداقل مقادیر عملکرد است. شما همچنین می توانید از این روش به عنوان استفاده از بهترین و بدترین سناریوها فکر کنید. برای نمونه ، اگر می خواهید مساحت یک مربع را پیدا کنید و یک طرف را به عنوان طول 1. 2 +/- 0. 2 متر و طول دیگر به عنوان 1. 3 +/- 0. 3 متر اندازه گیری کنید ، سپس منطقه خواهد بود: