اوراق بهادار دو دارایی

فرمول ها و توابع MATLAB که قبلاً مورد بحث قرار گرفتند برای محاسبه ویژگی های هر نمونه کارها کافی هستند. با این حال ، برای درک بهتر اقتصاد ساخت و ساز نمونه کارها ، در نظر گرفتن اثرات ترکیب دو دارایی برای تشکیل یک نمونه کارها مفید است.

برای اقتصاد در مورد نماد ، ما پرانتز را از بین می بریم. بنابراین X1 و X2 نسبت های سرمایه گذاری شده در دارایی های 1 و 2 به ترتیب خواهند بود و E1 و E2 بازده مورد انتظار آنها خواهد بود. بازگشت مورد انتظار نمونه کارها ، EP ، پس از آن خواهد بود:

از آنجا که نسبت ها به 1. 0 می رسد ، ما نیز ممکن است بنویسیم:

واریانس نمونه کارها ، VP ، تابعی از نسبت های سرمایه گذاری شده در دارایی ها ، واریانس بازگشت آنها (V1 و V2) و کواریانس بین بازده آنها خواهد بود (C12):

در اینجا ، ما می توانیم (1-X2) را برای X1 جایگزین کنیم تا عبارتی راجع به واریانس نمونه کارها به مبلغ سرمایه گذاری شده در دارایی 2 بدست آوریم:

انحراف استاندارد بازگشت (SP) مثل همیشه ریشه مربع واریانس خواهد بود:

در طول این بخش فرض خواهیم کرد که دارایی 1 ریسک کمتری (V1 & LTV2) و بازده مورد انتظار کوچکتر (E1 و LTE2) دارد. ما به تجارت بازگرداندن ریسک مرتبط با ترکیبات مختلف این دو دارایی و به ویژه شکل منحنی ها در فضای انحراف متوسط و متوسط که در نتیجه پول بیشتری در دارایی خطرناک سرمایه گذاری می شود ، علاقه مند خواهیم بود. یعنی با افزایش X2 و X1 کاهش یافته است).

ترکیب دارایی بی خطر با یک دارایی خطرناک

شکل زیر مکان ترکیب انحراف متوسط را برای مقادیر x2 بین 0 و 1 در هنگام E1 = 6 ، E2 = 10 ، S1 = 0 ، S2 = 15 و C12 = 0 ترسیم می کند.

در این حالت ، مانند هر مورد که شامل یک دارایی بی خطر و خطرناک است ، رابطه خطی است. این به راحتی دیده می شودبه یاد بیاورید که EP همیشه در X2 همانطور که قبلاً نشان داده شده است خطی است. اگر دارایی 1 بی خطر باشد ، SP نیز در X2 خطی خواهد بود ، زیرا هر دو V1 و C12 با صفر برابر خواهند بود. در چنین موردی:

جایی که ABS (x2) مقدار مطلق x2 را نشان می دهد.

این نتیجه را می توان در مواردی گسترش داد که در آن می توان موقعیت های کوتاه را گرفت. ابتدا فرض کنید که می توان دارایی بی خطر (وام ") را طولانی کرد و یا موقعیت کوتاهی در آن (" وام ") با همان نرخ بهره (E1) گرفت. فرمول های فوق مستقیماً اعمال می شوند. شکل زیر نتایج را نشان می دهد. با استفاده از اهرم به این روش به دست آمده است. به عنوان مثال ، نقطه مشخص شده 1. 5 با x2 = 1. 5 و x1 = -0. 5 همراه است. این نشان می دهد که با "افزایش" سرمایه گذاری در دارایی 2 با 50 ٪ یک سرمایه گذار می تواند توزیع احتمال را بدست آوردبازده سرمایه اولیه با مقدار مورد انتظار 12 ٪ و انحراف استاندارد 22. 5 ٪. نقاط دیگر در شکل مربوط به مقادیر مشخص شده X2 است. آنهایی که بالاتر از نقطه اصلی هستند شامل وام گرفتن هستند (x1 0).

صلاحیت این تجزیه و تحلیل به ترتیب است. یک استراتژی مربوط به موقعیت های کوتاه ممکن است نیاز داشته باشد که سرمایه اضافی برای تأمین کمبودهای احتمالی بین دارایی پایان یافته و مقادیر بدهی متعهد شود. در صورت عدم وجود این ، نرخ بالاتر به طور معمول برای موقعیت کوتاه شارژ می شود تا درآمد وام دهنده در کشورهایی از جهان که در آن وام گیرنده حلال است به اندازه کافی بالا باشد تا کمبودهای مرتبط با کشورهای جهان را جبران کند که در آنوام گیرنده ورشکسته است.

شکل زیر یک مورد ساده از این نوع را نشان می دهد که در آن ممکن است وجوه وام گرفته شود ، اما با نرخ بالاتر (8 ٪) از نرخ ای که ممکن است در آن قرض داده شود (6 ٪). در اینجا محل EP ، SP Combinations به عنوان دو خط توطئه می کند ، اولین بار با نرخ وام پایین تر ، دوم با نرخ وام بالاتر. مانند گذشته ، دارایی خطرناک بازده مورد انتظار 10 ٪ و خطر 15 ٪ را ارائه می دهد. مرز کارآمد توسط خطوط جامد نشان داده شده است. خط متراکم گزینه هایی را نشان می دهد که اگر سرمایه گذار بتواند 8 ٪ وام دهد ، در دسترس باشد. در حالی که نقاط موجود در آن غیرقابل نفوذ است ، کسانی که در حال طرح ریزی برای گسترش آن در سمت راست نقطه ای هستند که دارایی خطرناک را نشان می دهد ، هم امکان پذیر است و هم کارآمد.

در عمل ممکن است با مبلغ وام گرفته شده ، نرخ وام گرفته شده افزایش یابد. در چنین حالتی ، محل EP ، ترکیبات SP با کاهش نرخ (SP) فراتر از مبلغ مرتبط با یک سرمایه گذاری کامل بی نظیر در دارایی خطرناک افزایش می یابد (x2 = 1). در این شرایط سرانجام بازده به ریسک پذیری کاهش می یابد.

ترکیب دو دارایی خطرناک

هنگامی که یک نمونه کارها شامل دو دارایی خطرناک است ، تحلیلگر باید بازده ، واریانس و کواریانس (یا همبستگی) را بین بازده دارایی در نظر بگیرد. تفاوت های مربوط به مورد قبلی که در آن یک دارایی بی خطر است در فرمول واریانس نمونه کارها رخ می دهد. از نظر خطرات و همبستگی ها این است:

جایی که R12 همبستگی بین بازده دارایی ها است.

ترکیب دو دارایی کاملاً مثبت همبسته

برای شروع ، موردی را در نظر بگیرید که در آن دو بازده کاملاً مثبت هستند. تحت این شرایط:

اصطلاح در سمت راست می تواند برای بدست آوردن فاکتور شود:

از آن پیروی می کند:

که در آن ، ABS (..) مقدار مطلق بیان محصور را نشان می دهد. تا زمانی که X1 و X2 هر دو غیر منفی باشند ، خود این عبارت غیر منفی خواهد بود زیرا نه S1 و نه S2 هرگز نمی توانند منفی باشند. با این حال ، اگر یکی از دو مقدار X به اندازه کافی منفی باشد ، باید از مقدار مطلق صریح استفاده شود.

Consider combinations of long positions in the two assets (x1>=0, x2>= 0). برای هر ترکیبی:

در چنین حالتی خطر و بازده متناسب با X2 خواهد بود:

و همه این پرتفوی ها روی یک خط مستقیم قرار می گیرند که نقاط را نشان می دهد که دو دارایی را نشان می دهد. در شکل زیر ، E1 = 8 ، S1 = 5 ، E2 = 10 ، S2 = 15 و R12 = 1. 0.

این رابطه را می توان با اجازه دادن X2 بیشتر از یک یا کمتر از صفر گسترش داد. مورد علاقه خاص ترکیبی است که کمترین خطر ممکن را ایجاد می کند: نمونه کارها حداقل واریانس. در این حالت می توان به واریانس صفر دست یافت! ما به دنبال یک مقدار x2 هستیم که برای آن:

این به دست می آید که:

در مثال ما یک نمونه کارها بی خطر را می توان با تنظیم بدست آورد:

این امر می تواند با گرفتن موقعیت کوتاه در دارایی 2 برابر با نیمی از وجوه سرمایه گذار و سرمایه گذاری درآمدها و همچنین مبلغ اصلی پول در دارایی 1 انجام شود. در عمل ممکن است به تعهد برخی وثیقه دیگر نیاز داشته باشد تا یکضمانت کافی برای وام دهنده دارایی 2 مبنی بر اینکه موقعیت کوتاه در صورت لزوم قابل پوشش است.

توانایی تشکیل یک نمونه کارها بی خطر با گرفتن موقعیت های برکنار در دو دارایی کاملاً مثبت ، مستقیماً به رقمی شبیه به آنچه در اوایل حاصل می شود منجر می شود که یک دارایی بی خطر با یک ریسک پذیر ترکیب می شد. بگذارید بازده مورد انتظار در سبد واریانس صفر باشد:

در مثال فعلی E0 برابر 7 ٪ (8-0. 5*(10-8)) خواهد بود. مجموعه ای از خطرات و بازده های نمونه کارها را می توان با در نظر گرفتن ترکیبی از این دارایی بی خطر (نمونه کارها) و یا دارایی 1 یا دارایی 2 بدست آورد. در این مورد:

در حالی که تمام ترکیبات نشان داده شده امکان پذیر هستند ، فقط آنهایی که در خط بالایی کار می کنند کارآمد هستند - نقطه ای که با استفاده از یک خط متراکم برای قسمت تحت سلطه روابط تأکید می شود.

ترکیب دارایی های خطرناک با همبسته همبستگی

در حالی که دارایی های پرخطر کاملاً همبستگی وجود دارد ، اما آنها به جای قاعده مستثنی هستند. در بیشتر موارد ضرایب همبستگی کمتر از 1. 0 است. پیامدهای این واقعیت برای ریسک برای درک اثرات تنوع اساسی است.

Consider a portfolio with long positions in two risky assets (x1>0, x2>0)همانطور که قبلاً نشان داده شده است ، واریانس آن خواهد بود:

اکنون دو مورد را تصور کنید ، از هر نظر مشابه (X1 ، X2 ، E1 ، E2 ، S1 ، S2) اما همبستگی (R12). بگذارید VP (1) واریانس یک نمونه کارها باشد ، که R12 = 1 و VP (R) واریانس دیگری است ، که R12 = R برای آن R12 = R ، جایی که R کمتر از 1 است. واریانس پرتفوی در دو محاسبه متفاوت خواهد بود. از آنجا که تمام مؤلفه های آن اصطلاح اما R12 مثبت است ، از این رو نتیجه می گیرد که VP (R) و LTVP (1). به طور کلی ، چیزهای دیگر برابر هستند:

موارد دیگر برابر است ، ارتباط بین دو دارایی کوچکتر ، خطر ابتلا به نمونه کارها از موقعیت های طولانی در این دو دارایی کوچکتر خواهد بود.

شکل زیر ترکیبی از ریسک را نشان می دهد و برای چنین اوراق بهادار در هنگام E1 = 8 ، S1 = 5 ، E2 = 10 و S2 = 15 باز می گردد. هر منحنی در مورد یک مورد با همبستگی متفاوت بین بازده دو دارایی اعمال می شود. جای تعجب نیست که موارد در نقاط پایانی همزمان هستند (x1 = 1 ، x2 = 0 و x1 = 0 ، x2 = 1). برای کلیه ترکیبات داخلی ، هنگامی که ضریب همبستگی کمتر از 1. 0 باشد ، خطر کمتر از خطرات دو دارایی است ، با میزان کاهش خطر بیشتر ، ضریب همبستگی کوچکتر است. بنابراین منحنی زرد (R12 = 1. 0) کاهش خطر را فراهم نمی کند ، فقط به طور متوسط ریسک. منحنی قرمز (R12 = 0. 5) کاهش خطر ، منحنی سبز (R12 = 0) بیشتر ، و منحنی آبی (R12 = -0. 5) را حتی بیشتر می کند.

قدرتمندترین مورد تنوع هنگامی بوجود می آید که R12 = -1. 0. در این مورد:

که می تواند برای بدست آوردن فاکتور شود:

در چنین حالتی ، نمونه کارها حداقل واریانس بی خطر خواهد بود. برای به دست آوردن آن ، ما می خواهیم تنظیم کنیم:

راه حل:

بنابراین اگر S1 = 5 و S2 = 15 و دو دارایی کاملاً منفی باشند ، یک سبد بی خطر با x2 = 5/(5+15) = 0. 25 و x1 = 0. 75 بدست می آید. بازده مورد انتظار آن برابر خواهد بود 0. 25*E1+0. 75*E2 (در اینجا ، 8. 5 ٪). شکل بعدی نتایج مورد قبلی را تکرار می کند و این مورد جدید (به رنگ سفید) را اضافه می کند.

بار دیگر نمودار آشنا را که در آن یک دارایی بی خطر وجود دارد به دست آورده ایم. این نباید تعجب آور باشد. موقعیت های طولانی در دو دارایی کاملاً منفی با (1) موقعیت طولانی در یکی از دو دارایی کاملاً مثبت و (2) یک موقعیت کوتاه از طرف دیگر.

در بیشتر موارد ، همبستگی دارایی بی ن-1. 0 و +1. 0 قرار دارد. برای پوشش همه امکانات ، ما به یک فرمول کلی برای نمونه کارها حداقل واریانس نیاز داریم. برای این کار ما با یک معادله فرم کاهش یافته شروع می کنیم که در آن VP به عنوان تابعی از X2 بیان می شود (با این فرض که X1 = 1-X2):

مشتق با توجه به X2:

تنظیم این روی صفر می دهد:

نمونه کارها حداقل واریانس ممکن است خطر کمتری نسبت به هر یک از دارایی های مؤلفه خود داشته باشد. همچنین ممکن است بازده بالاتری داشته باشد. نکته ای را در نظر بگیرید که در آن x2 = 0 است. اینجا:

As usual, we assume that e2>E1. برای اینکه شیب D (EP)/D (VP) منفی باشد ما نیاز داریم: