دوره تخصصی نوسان

دلایل مختلفی وجود دارد که ممکن است این صفحه را ببینید. برای خواندن نسخه آنلاین سخنرانی های فیزیک فیزیک ، JavaScript باید توسط مرورگر شما پشتیبانی و فعال شود. اگر قبلاً از این وب سایت بازدید کرده اید ، ممکن است ترکیبی از پرونده های ناسازگار (. js ، . css و . html) را در حافظه نهان مرورگر خود داشته باشید. اگر از مسدود کننده تبلیغ استفاده می کنید ، ممکن است مانع از بارگیری صفحات ما منابع لازم شود. بنابراین ، لطفاً موارد زیر را امتحان کنید: اطمینان حاصل کنید که JavaScript فعال شده است ، حافظه نهان مرورگر خود را پاک کنید (حداقل پرونده هایی از feynmanlectures. caltech. edu) ، پسوندهای مرورگر خود را خاموش کنید و این صفحه را باز کنید:

اگر باز نشود ، یا فقط این پیام را به شما نشان می دهد ، پس لطفاً به ما اطلاع دهید:

• از کدام مرورگر استفاده می کنید (از جمله نسخه #)
• از کدام سیستم عامل استفاده می کنید (از جمله نسخه #)

این نوع مشکل نادر است ، و اگر سرنخ هایی در مورد علت داشته باشیم ، می توان آن را برطرف کرد. بنابراین ، اگر می توانید ، پس از فعال کردن JavaScript ، پاک کردن حافظه نهان و ناتوانی پسوندها ، لطفاً کنسول JavaScript مرورگر خود را باز کنید ، صفحه بالا را بارگیری کنید و اگر این پیام (به ویژه خطاها یا هشدارها) روی کنسول ایجاد می کند ، لطفاً کپی کنید(متن یا تصویر) از آن پیام ها و اطلاعات فوق را به آدرس ایمیل ارائه شده در زیر ارسال کنید.

با ارسال اطلاعات به ما ، شما نه تنها به خودتان کمک خواهید کرد ، بلکه دیگران که ممکن است در دسترسی به نسخه آنلاین سخنرانی های فیزیک با مشکلات مشابهی روبرو هستند. از زمان و توجه شما بسیار استقبال می شود.

با احترام ، مایک گوتلیب mg@feynmanlectures. info ویرایش

بازی توقف حداکثر حجم بی صدا

به روزرسانی مورد نیاز برای پخش رسانه ای مورد نیاز برای به روزرسانی مرورگر خود در نسخه اخیر یا به روزرسانی افزونه فلش خود.

ضبط این سخنرانی از بایگانی Caltech گم شده است.

21 نوسان ساز هارمونیک

معادلات دیفرانسیل خطی 21-1

در مطالعه فیزیک ، معمولاً این دوره به یک سری از موضوعات مانند مکانیک ، برق ، اپتیک و غیره تقسیم می شود و یک موضوع را بعد از دیگری مطالعه می کند. به عنوان مثال ، این دوره تاکنون بیشتر با مکانیک سروکار داشته است. اما یک اتفاق عجیب و غریب بارها و بارها رخ می دهد: معادلات موجود در زمینه های مختلف فیزیک و حتی در علوم دیگر ، تقریباً دقیقاً یکسان هستند ، به طوری که بسیاری از پدیده ها در این زمینه های مختلف آنالوگ دارند. برای ساده ترین مثال ، انتشار امواج صوتی از بسیاری جهات مشابه با انتشار امواج نوری است. اگر آکوستیک را با جزئیات کامل مطالعه کنیم ، می فهمیم که بخش عمده ای از کارها همان است که اگر در حال مطالعه اپتیک با جزئیات عالی بودیم. بنابراین مطالعه یک پدیده در یک زمینه ممکن است امکان گسترش دانش ما در زمینه دیگری را فراهم کند. بهتر است از اول متوجه شویم که چنین پسوندهایی امکان پذیر است ، زیرا در غیر این صورت ممکن است دلیل صرف وقت و انرژی زیادی را برای آنچه که به نظر می رسد تنها بخش کوچکی از مکانیک است ، درک نکند.

نوسان ساز هارمونیک، که در حال بررسی آن هستیم، در بسیاری از زمینه های دیگر مشابهت های نزدیک دارد. اگرچه ما با یک مثال مکانیکی از وزنه روی فنر، یا آونگی با نوسان کوچک یا برخی وسایل مکانیکی دیگر شروع می کنیم، اما واقعاً در حال مطالعه یک معادله دیفرانسیل خاص هستیم. این معادله بارها و بارها در فیزیک و علوم دیگر ظاهر می شود و در واقع بخشی از بسیاری از پدیده ها است که مطالعه دقیق آن ارزش توجه ما را دارد. برخی از پدیده های مربوط به این معادله نوسانات یک جرم روی فنر است. نوسانات باری که در یک مدار الکتریکی به جلو و عقب جریان دارد. ارتعاشات یک چنگال تنظیم که امواج صوتی تولید می کند. ارتعاشات مشابه الکترون های یک اتم که امواج نوری را تولید می کند. معادلات عملکرد یک سرووسیستم، مانند ترموستات برای تنظیم دما؛فعل و انفعالات پیچیده در واکنش های شیمیایی؛رشد یک کلنی از باکتری ها در تعامل با مواد غذایی و سمومی که باکتری ها تولید می کنند. روباه ها در حال خوردن خرگوش ها در حال خوردن علف و غیره. همه این پدیده ها از معادلاتی پیروی می کنند که بسیار شبیه به یکدیگر هستند و به همین دلیل است که ما اسیلاتور مکانیکی را با جزئیات مطالعه می کنیم. معادلات را معادلات دیفرانسیل خطی با ضرایب ثابت می نامند. معادله دیفرانسیل خطی با ضرایب ثابت یک معادله دیفرانسیل است که از مجموع چند جمله تشکیل شده است که هر جمله مشتق از متغیر وابسته نسبت به متغیر مستقل است و در مقداری ثابت ضرب می شود. بنابراین x08egin label a_n, d^nx/dt^n+a_, d^x/dt^+dotsb +a_1, dx/dt+a_0x=f(t) end شروع a_n, d^nx/dt^n&+a_, d^x/dt^+dotsb

otag\ &+a_1, dx/dt+a_0x=f(t) label end یک معادله دیفرانسیل خطی از نظم نامیده می شود.$n$ با ضرایب ثابت (هر $a_i$ ثابت است).

21-2 نوسانگر هارمونیک

شکل 21-1. جرم روی فنر: یک مثال ساده از یک نوسان ساز هارمونیک.

شاید ساده ترین سیستم مکانیکی که حرکت آن از معادله دیفرانسیل خطی با ضرایب ثابت پیروی می کند ، توده ای در چشمه است: ابتدا بهار کشیده می شود تا جاذبه را متعادل کند. پس از تعادل ، ما در مورد جابجایی عمودی جرم از موقعیت تعادل آن بحث می کنیم (شکل 21-1). ما این جابجایی به سمت بالا $ x $ را خواهیم خواند ، و همچنین تصور می کنیم که چشمه کاملاً خطی است ، در این صورت نیرویی که هنگام کشش بهار عقب می کشند دقیقاً متناسب با میزان کشش است. یعنی این نیر و-kx $ $ (با یک علامت منفی برای یادآوری اینکه عقب می رود) است. بنابراین زمان جرم شتاب باید برابر با $ -kx $ باشد: شروع برچسب m ، d^2x/dt^2 = -kx. پایان برای سادگی ، فرض کنید این اتفاق می افتد (یا واحد اندازه گیری زمان خود را تغییر می دهیم) که نسبت $ k/m = 1 $. ابتدا باید معادله شروع برچسب d^2x/dt^2 = -x را مطالعه کنیم. پایان بعداً ما به Eq باز خواهیم گشت.(21. 2) با $ k $ و $ M $ صریح وجود دارد.

ما قبلاً Eq را تجزیه و تحلیل کرده ایم.(21. 3) با جزئیات به صورت عددی ؛هنگامی که ما برای اولین بار موضوع مکانیک را معرفی کردیم ، این معادله را حل کردیم (برای یافتن حرکت ، به معادله 9. 12 مراجعه کنید). با ادغام عددی ، منحنی را پیدا کردیم (شکل 9-4) که نشان می دهد اگر $ m $ در ابتدا جابجا شود ، اما در حالت استراحت ، پایین می آید و از طریق صفر می رود. ما پس از آن دورتر از آن پیروی نکردیم ، اما مطمئناً می دانیم که این فقط بالا و پایین می رود - نوسان می کند. وقتی حرکت را به صورت عددی محاسبه کردیم ، فهمیدیم که از نقطه تعادل در $ t = 1. 570 $ عبور می کند. طول کل چرخه چهار برابر این طولانی است ، یا $ t_0 = 6. 28 $ "ثانیه". قبل از اینکه حساب زیادی را بدانیم ، این عددی پیدا شد. ما فرض می کنیم که در این میان بخش ریاضیات تابعی را به ارمغان آورده است که وقتی دو بار تمایز قائل شود ، با یک علامت منفی برابر است.(البته راه های رسیدن به این عملکرد به طور مستقیم وجود دارد ، اما آنها پیچیده تر از آن هستند که از قبل بدانند که جواب چیست.) این عملکرد $ x = cos t $ است. اگر این را متمایز کنیم ، $ dx/dt =- sin t $ و $ d^2x/dt^2 = $ $- cos t = $ $ -x $ را پیدا می کنیم. تابع $ x = cos t $ ، با $ t = 0 $ ، با $ x = 1 $ و بدون سرعت اولیه شروع می شود. این وضعیتی بود که ما وقتی کار عددی خود را انجام دادیم شروع کردیم. اکنون که می دانیم $ x = cos t $ ، می توانیم مقدار دقیقی را برای زمانی که باید $ x = 0 $ عبور کند محاسبه کنیم. پاسخ $ t = pi/2 $ یا 1. 57080 $ است. ما در آخرین شکل به دلیل خطاهای تحلیل عددی اشتباه کردیم ، اما بسیار نزدیک بود!

اکنون برای پیشبرد مشکل اصلی ، واحدهای زمان را به ثانیه های واقعی بازگردانیم. پس راه حل چیست؟اول از همه ، ممکن است فکر کنیم که می توانیم با ضرب $ cos t $ توسط چیزی ، ثابت $ k $ و $ m $ را بدست آوریم. بنابراین اجازه دهید معادله $ x = a cos t $ ؛سپس $ dx/dt = -a sin t $ و $ d^2x/dt^2 = $ $ -a cos t = $ $ -x $ را پیدا می کنیم. بنابراین به وحشت خود می فهمیم که ما در حل معادله موفق نشدیم.(21. 2) ، اما ما EQ گرفتیم.(21. 3) دوباره! این واقعیت یکی از مهمترین خصوصیات معادلات دیفرانسیل خطی را نشان می دهد: اگر راه حل معادله را با هر ثابت ضرب کنیم ، دوباره یک راه حل است. دلیل ریاضی این امر واضح است. اگر $ x $ یک راه حل است ، و ما هر دو طرف معادله را ضرب می کنیم ، می گویند با $ $ ، می بینیم که همه مشتقات نیز توسط $ A $ ضرب می شوند ، بنابراین $ AX $ به همان اندازه راه حل اصلی استمعادله به عنوان $ x $ بود. فیزیک آن به شرح زیر است. اگر در چشمه وزنی داشته باشیم و آن را دو برابر پایین بیاوریم ، نیرو دو برابر بیشتر است ، شتاب حاصل از آن دو برابر بیشتر است ، سرعت آن در یک زمان معین دو برابر بیشتر است ، فاصله تحت پوشش در یکزمان با توجه به زمان دو برابر است. اما برای بازگشت به مبدا ، باید دو برابر مسافت عالی را بپوشاند زیرا دو بار از دور پایین کشیده می شود. بنابراین ، صرف نظر از جابجایی اولیه ، به همان زمان نیاز دارد تا به مبدا برگردید. به عبارت دیگر ، با یک معادله خطی ، حرکت دارای الگوی همان زمان است ، مهم نیست که چقدر "قوی" باشد.

این کار اشتباهی بود - فقط به ما آموخت که می توانیم راه حل را با هر چیزی ضرب کنیم و همان معادله را برآورده می کند ، اما یک معادله متفاوت نیست. بعد از کمی برش و سعی کنید با ضرب و شتم ثابت $ x $ به یک معادله برسید ، می فهمیم که باید مقیاس زمان را تغییر دهیم. به عبارت دیگر ، Eq.(21. 2) یک راه حل از فرم شروع label x = cos omega_0t دارد. پایان (مهم است که بدانید که در این مورد ، $ omega_0 $ سرعت زاویه ای از بدنه ریسندگی نیست ، اما اگر اجازه نداریم بیش از یک چیز از همان حرف استفاده کنیم ، نامه ها را تمام کنیم.) دلیلی که ما یک اشتراک "0 $" را روی $ omega $ قرار داده ایم این است که ما می خواهیم امگا بیشتری داشته باشیم. به یاد داشته باشیم که $ omega_0 $ به حرکت طبیعی این نوسان ساز اشاره دارد. اکنون EQ را امتحان می کنیم.(21. 4) و این بار ما موفق تر هستیم ، زیرا $ dx/dt =- omega_0 sin omega_0t $ و $ d^2x/dt^2 = $ $- omega_0^2 cos omega_0t = $ $- omega_0^2x $. بنابراین سرانجام معادله ای را که واقعاً می خواستیم حل کنیم حل کرده ایم. معادله $ d^2x/dt^2 =- omega_0^2x $ همان Eq است.(21. 2) اگر $ omega_0^2 = k/m $.

نکته بعدی که باید بررسی کنیم اهمیت فیزیکی $ omega_0 $ است. ما می دانیم که عملکرد کسین هنگامی که زاویه ای که به آن اشاره دارد ، تکرار می شود. بنابراین $ x = cos omega_0t $ حرکت خود را تکرار می کند ، هنگامی که "زاویه" با 2 دلار pi $ تغییر می کند ، یک چرخه کامل را طی می کند. مقدار $ omega_0t $ اغلب فاز حرکت نامیده می شود. برای تغییر $ omega_0t $ با 2 $ pi $ ، زمان باید با مبلغ $ t_0 $ تغییر یابد ، به نام دوره یک نوسان کامل. البته $ t_0 $ باید به گونه ای باشد که $ omega_0t_0 = 2 pi $. یعنی $ omega_0t_0 $ باید یک چرخه از زاویه را به خود اختصاص دهد ، و سپس همه چیز خود را تکرار می کند - اگر ما $ t $ را با $ t_0 $ افزایش دهیم ، 2 دلار pi $ به مرحله اضافه می کنیم. بنابراین شروع برچسب t_0 = 2 pi/ omega_0 = 2 pi sqrt. پایان به این ترتیب اگر ما یک توده سنگین تر داشتیم ، نوسان به جلو و عقب در چشمه بیشتر طول می کشد. دلیل این امر این است که اینرسی بیشتر است ، و بنابراین ، در حالی که نیروها یکسان هستند ، برای حرکت توده بیشتر طول می کشد. یا اگر بهار قوی تر باشد ، سریعتر حرکت می کند ، و این درست است: اگر بهار قوی تر باشد ، دوره کمتر است.

توجه داشته باشید که دوره نوسان توده در چشمه به هیچ وجه به نحوه شروع آن بستگی ندارد ، چقدر پایین می رویم. دوره تعیین می شود ، اما دامنه نوسان با معادله حرکت تعیین نمی شود (2/21). دامنه در واقع با نحوه رها کردن آن ، با آنچه که ما شرایط اولیه یا شرایط شروع می نامیم ، تعیین می شود.<ke<3.33em> ext>در واقع ، ما کاملاً عمومی ترین راه حل Eq را پیدا نکرده ایم.(21. 2). راه حل های دیگری نیز وجود دارد. باید واضح باشد که چرا: زیرا همه موارد تحت پوشش $ x = a cos omega_0t $ با جابجایی اولیه و بدون سرعت اولیه شروع می شود. اما به عنوان مثال ، این امکان وجود دارد که توده از $ x = 0 $ شروع شود ، و ممکن است ما به آن ضربه تحریک آمیز بدهیم ، به طوری که سرعت آن در $ t = 0 $ باشد. چنین حرکتی توسط یک کاسین نشان داده نمی شود - این توسط یک سینوس نشان داده شده است. به عبارت دیگر ، اگر $ x = cos omega_0t $ یک راه حل است ، آیا بدیهی نیست که اگر ما اتفاق می افتد که در بعضی مواقع وارد اتاق شویم (که ما آن را "$ t = 0 $" می نامیم) و توده ای را که در حال عبور از X $ = 0 $ بود ، دید ، ادامه می یابد؟بنابراین ، $ x = cos omega_0t $ نمی تواند عمومی ترین راه حل باشد. برای صحبت کردن باید شروع به کار کند. به عنوان نمونه ، ما می توانیم راه حل را از این طریق بنویسیم: $ x = a cos omega_0 (t - t_1) $ ، جایی که $ t_1 $ ثابت است. این همچنین با تغییر منشأ زمان به لحظه جدید مطابقت دارد. علاوه بر این ، ما ممکن است شروع cos ، ( omega_0t + delta) = cos omega_0t cos delta- sin omega_0t sin sin delta ، ind شروع x = a cos amega_0t +را گسترش دهیم. b sin omega_0t ، پایان که در آن $ a = a cos delta $ و $ b = -a sin delta $. هر یک از این اشکال یک روش ممکن برای نوشتن راه حل کامل و کلی (21. 2) است: یعنی هر راه حل معادله دیفرانسیل $ d^2x/dt^2 =- omega_0^2x $ که در جهان وجود داردرا می توان به صورت start & ( text) quad x & = ؛ & a cos omega_0 (t-t_1) ، notag \ [1ex] ke notag \ ٪ ebook ٪ حذف ٪ ebook insert را حذف کرد: Makebox [0EM]<ke<3.33em> ext> notag \ label & ( text) quad x & = ؛ & a cos ، ( omega_0t+ delta) \ [1ex] ke text notag \ ٪ ebook ٪ حذف ٪ eBook insert: makeboxbox[0EM]

notag \ & ( text) quad x & = ؛ & a cos omega_0t+b sin omega_0t. notag end

برخی از مقادیر موجود در (21. 6) دارای نام هستند: $ omega_0 $ فرکانس زاویه ای نامیده می شود. این تعداد رادیانی است که فاز در ثانیه تغییر می کند. که توسط معادله دیفرانسیل تعیین می شود. ثابت های دیگر با معادله مشخص نمی شوند ، بلکه با شروع حرکت. از این ثابت ، $ $ حداکثر جابجایی حاصل از جرم را اندازه گیری می کند و دامنه نوسان نامیده می شود.$ delta $ ثابت گاهی اوقات مرحله نوسان نامیده می شود ، اما این یک سردرگمی است ، زیرا افراد دیگر فاز $ omega_0t + delta $ را می نامند و می گویند فاز با زمان تغییر می کند. ممکن است بگوییم که $ delta $ یک تغییر فاز از برخی از صفر تعریف شده است. بگذارید آن را متفاوت بیان کنیم.$ $ delta $ متفاوت با حرکات در مراحل مختلف مطابقت دارد. این درست است ، اما این که آیا ما می خواهیم با $ delta $ فاز تماس بگیریم ، یا نه ، سوال دیگری است.

حرکت هارمونیک 21-3 و حرکت دایره ای

شکل 21-2. ذره ای که در یک مسیر دایره ای با سرعت ثابت حرکت می کند.< Pan> برخی از مقادیر موجود در (21. 6) دارای نام هستند: $ omega_0 $ فرکانس زاویه ای نامیده می شود. این تعداد رادیانی است که فاز در ثانیه تغییر می کند. که توسط معادله دیفرانسیل تعیین می شود. ثابت های دیگر با معادله مشخص نمی شوند ، بلکه با شروع حرکت. از این ثابت ، $ $ حداکثر جابجایی حاصل از جرم را اندازه گیری می کند و دامنه نوسان نامیده می شود.$ delta $ ثابت گاهی اوقات مرحله نوسان نامیده می شود ، اما این یک سردرگمی است ، زیرا افراد دیگر فاز $ omega_0t + delta $ را می نامند و می گویند فاز با زمان تغییر می کند. ممکن است بگوییم که $ delta $ یک تغییر فاز از برخی از صفر تعریف شده است. بگذارید آن را متفاوت بیان کنیم.$ $ delta $ متفاوت با حرکات در مراحل مختلف مطابقت دارد. این درست است ، اما این که آیا ما می خواهیم با $ delta $ فاز تماس بگیریم ، یا نه ، سوال دیگری است.

حرکت هارمونیک 21-3 و حرکت دایره ای

شکل 21-2. ذره ای که در یک مسیر دایره ای با سرعت ثابت حرکت می کند. برخی از مقادیر موجود در (21. 6) دارای نام هستند: $ omega_0 $ فرکانس زاویه ای نامیده می شود. این تعداد رادیانی است که فاز در ثانیه تغییر می کند. که توسط معادله دیفرانسیل تعیین می شود. ثابت های دیگر با معادله مشخص نمی شوند ، بلکه با شروع حرکت. از این ثابت ، $ $ حداکثر جابجایی حاصل از جرم را اندازه گیری می کند و دامنه نوسان نامیده می شود.$ delta $ ثابت گاهی اوقات مرحله نوسان نامیده می شود ، اما این یک سردرگمی است ، زیرا افراد دیگر فاز $ omega_0t + delta $ را می نامند و می گویند فاز با زمان تغییر می کند. ممکن است بگوییم که $ delta $ یک تغییر فاز از برخی از صفر تعریف شده است. بگذارید آن را متفاوت بیان کنیم.$ $ delta $ متفاوت با حرکات در مراحل مختلف مطابقت دارد. این درست است ، اما این که آیا ما می خواهیم با $ delta $ فاز تماس بگیریم ، یا نه ، سوال دیگری است.

حرکت هارمونیک 21-3 و حرکت دایره ای

شکل 21-2. ذره ای که در یک مسیر دایره ای با سرعت ثابت حرکت می کند.

این واقعیت که Cosines در راه حل Eq نقش دارند.(21. 2) نشان می دهد که ممکن است رابطه ای با محافل وجود داشته باشد. این مصنوعی است ، البته ، زیرا هیچ دایره ای در حرکت خطی وجود ندارد - فقط بالا و پایین می رود. ممکن است اشاره کنیم که در واقع ، ما قبلاً آن معادله دیفرانسیل را هنگام مطالعه مکانیک حرکت دایره ای حل کرده ایم. اگر یک ذرات در یک دایره با سرعت ثابت $ v $ حرکت کند ، وکتور شعاع از مرکز دایره به ذرات از زاویه ای تبدیل می شود که اندازه آن متناسب با زمان است. اگر این زاویه $ theta = vt/r $ (شکل 21-2) را صدا کنیم ، سپس $ d theta/dt = $ omega_0 = $ $ v/r $. ما می دانیم که شتاب $ a = $ $ v^2/r = $ omega_0^2r $ به مرکز وجود دارد. اکنون ما همچنین می دانیم که موقعیت $ x $ ، در یک لحظه معین ، شعاع دایره زمان $ cos theta $ است ، و اینکه $ y $ شعاع $ sin theta $ است: شروع x =r cos theta ، quad y = r sin theta. پایان اکنون در مورد شتاب چیست؟$ $-$ شتاب ، $ d^2x/dt^2 $ چیست؟ما قبلاً این کار را از نظر هندسی انجام داده ایم. این میزان شتاب زمانه است که از زاویه طرح ریزی ، با یک علامت منفی به دلیل اینکه به سمت مرکز است. شروع label a_x = -a cos theta =- omega_0^2r cos theta =- omega_0^2x. به عبارت دیگر ، هنگامی که یک ذره در یک دایره در حال حرکت است ، مؤلفه افقی حرکت آن دارای شتاب است که متناسب با جابجایی افقی از مرکز است. البته ما همچنین راه حل حرکت در یک دایره را داریم: $ x = r cos omega_0t $. معادله (21. 7) به شعاع دایره بستگی ندارد ، بنابراین برای یک دایره از هر شعاع ، فرد برای یک $ $ omega_0 $ همان معادله پیدا می کند. بنابراین ، به دلایل مختلف ، ما انتظار داریم که جابجایی یک توده در چشمه متناسب با $ cos omega_0t $ باشد ، و در واقع دقیقاً همان حرکتی خواهد بود که می بینیم اگر نگاه کنیم$ x $-مؤلفه موقعیت یک شیء که در یک دایره با سرعت زاویه ای $ omega_0 $ می چرخد. به عنوان یک بررسی در این مورد ، می توان آزمایشی را ابداع کرد تا نشان دهد که حرکت بالا و پایین یک توده در یک چشمه همان نقطه ای است که در یک دایره به وجود می آید. در شکل 21-3 یک قوس پیش بینی شده روی صفحه نمایش سایه های پین میل لنگ را روی یک شافت و از یک توده نوسان عمودی ، در کنار هم قرار می دهد. اگر ما در زمان مناسب از محل مناسب جرم را رها کنیم و اگر سرعت شافت با دقت تنظیم شود به طوری که فرکانس ها مطابقت داشته باشد ، هر کدام باید دقیقاً از دیگری پیروی کنند.

همچنین می توان راه حل عددی را که قبلاً با عملکرد کسین به دست آوردیم ، بررسی کند و ببیند که آیا این خیلی خوب موافق است یا خیر.

شکل 21-3. نمایش هم ارزی بین حرکت هارمونیک ساده و حرکت دایره ای یکنواخت.

در اینجا ممکن است این نکته را بیان کنیم که از آنجا که حرکت یکنواخت در یک دایره از نظر ریاضی بسیار نزدیک به حرکات بالا و پایین نوسان است ، می توانیم حرکت نوسان را به روشی ساده تر تجزیه و تحلیل کنیم اگر تصور کنیم که این یک پیش بینی چیزی در یک دایره است. به عبارت دیگر ، اگرچه فاصله $ y $ به معنای هیچ چیز در مشکل نوسان ساز نیست ، اما ما هنوز هم ممکن است به طور مصنوعی Eq را تکمیل کنیم.(21. 2) با معادله دیگری با استفاده از $ y $ ، و این دو را در کنار هم قرار دهید. اگر این کار را انجام دهیم ، می توانیم نوسان ساز یک بعدی خود را با حرکات دایره ای تجزیه و تحلیل کنیم ، که بسیار ساده تر از نیاز به حل معادله دیفرانسیل است. ترفند در انجام این کار استفاده از اعداد پیچیده است ، روشی که در فصل بعد معرفی خواهیم کرد.

21-4 شرایط اولیه < SPAN> همچنین می توان راه حل عددی را که قبلاً با عملکرد Cosine به دست آوردیم ، بررسی کند و ببینید که آیا این خیلی خوب موافق است یا خیر.

شکل 21-3. نمایش هم ارزی بین حرکت هارمونیک ساده و حرکت دایره ای یکنواخت.