پیش بینی شاخص سهام بر اساس تجزیه سری زمانی و مدل ترکیبی

مجوز MDPI ، بازل ، سوئیس. این مقاله یک مقاله دسترسی آزاد است که تحت شرایط و ضوابط مجوز Creative Commons Attribution (CC توسط) توزیع شده است (https://creativeecommons.org/licenses/by/4. 0/).

داده های مرتبط

خلاصه

شاخص سهام یک شاخص مهم برای اندازه گیری نوسانات بورس با نقش راهنما برای تصمیم گیری سرمایه گذاران است ، بنابراین هدف تحقیقات زیادی است. با این حال ، بازار سهام تحت تأثیر عدم اطمینان و نوسانات قرار می گیرد و پیش بینی دقیق را به یک کار چالش برانگیز تبدیل می کند. ما یک مدل پیش بینی شاخص سهام جدید را بر اساس تجزیه سری زمانی و یک مدل ترکیبی پیشنهاد می کنیم. تجزیه کامل گروه تجربی با سر و صدای سازگار (CEEMDAN) شاخص سهام را در یک سری از عملکردهای حالت ذاتی (IMF) با مقیاس ویژگی های مختلف و مدت روند تجزیه می کند. روش افزودنی دیکی فولر (ADF) ثبات هر صندوق بین المللی پول و مدت روند را قضاوت می کند. مدل میانگین متحرک Autoregressive (ARMA) در سری زمانی ثابت و یک مدل حافظه کوتاه مدت (LSTM) استفاده می شود و ویژگی های انتزاعی سری های ناپایدار را استخراج می کند. نتایج پیش بینی شده هر دنباله زمانی برای به دست آوردن مقدار پیش بینی نهایی بازسازی می شود. آزمایش ها در چهار سری زمان شاخص سهام انجام می شود ، و نتایج نشان می دهد که پیش بینی مدل پیشنهادی نسبت به هفت مدل مرجع به ارزش واقعی نزدیکتر است و دارای ارزش مرجع سرمایه گذاری کمی خوب است.

واژه های کلیدی: پیش بینی شاخص سهام ، CEEMDAN ، ADF ، ARMA ، LSTM ، مدل ترکیبی

1. معرفی

شاخص سهام بر اساس برخی از سهام ذکر شده نماینده محاسبه می شود. تا حدودی ، می تواند تغییرات قیمت کل بازار مالی را منعکس کند ، از این رو استفاده از آن به عنوان یک شاخص مهم عملکرد کلان اقتصادی آینده کشور است. پیش بینی دقیق شاخص سهام با ارائه برخی از اطلاعات مرجع مهم ، از اهمیت ویژه ای برای کاهش خطرات در تصمیم گیری برخوردار است [1]. با این حال ، با توجه به پیچیدگی ساختار داخلی و تغییرپذیری عوامل خارجی ، تغییرات بازار سهام پویا و نامشخص است و پیش بینی شاخص سهام همیشه یک چالش بوده است. بسیاری از مدل های پیش بینی سهام بیشتر به عنوان مدل های آماری یا یادگیری ماشین طبقه بندی می شوند [2]. برای اولین بار از مدل های آماری برای پیش بینی بازار سهام در امور مالی استفاده شد و برخی از دستاوردها را انجام داده است. با این حال ، آنها یک سری زمانی خطی و ثابت را فرض می کنند ، که مغایر با ویژگی های پویا و غیرخطی بازار سهام واقعی است ، بنابراین محدودیت های بزرگی دارند. یک مدل یادگیری عمیق می تواند بر نقص مدلهای آماری سنتی در پیش بینی سری زمانی غلبه کند ، اما به راحتی در برخی از سیستم های مالی پیچیده و پویا تحت تأثیر نویز قرار می گیرد و این امر باعث می شود تا ویژگی های پنهان سری های زمانی ، و در نتیجه توانایی یادگیری ضعیف و پیش بینی محدود ، دشوار باشد. دقت.

بنابراین ، یک مدل یادگیری آماری واحد یا ماشین نمی تواند شاخص سهام را به خوبی پیش بینی کند. برای غلبه بر این محدودیت ها ، ما یک مدل پیش بینی شاخص سهام ترکیبی را بر اساس تجزیه کامل حالت تجربی گروهی با نویز تطبیقی (CEEMDAN) پیشنهاد می کنیم [3]. در این مدل ، CEEMDAN برای اولین بار برای تجزیه سری اصلی زمان مالی در یک سری از عملکردهای حالت ذاتی (IMF) و یک اصطلاح باقیمانده استفاده می شود. سپس ، پایداری صندوق بین المللی پول و اصطلاح باقیمانده با استفاده از روش افزودنی Dickey Fuller (ADF) مشخص می شود ، سری زمانی کم حجم به عنوان اجزای خطی طبقه بندی می شود و سری زمانی با حجم بالا به عنوان اجزای غیر خطی طبقه بندی می شوند. در مرحله پایانی ، مدل میانگین متحرک (ARMA) اتوگرافی بر روی مؤلفه خطی اعمال می شود و حافظه کوتاه مدت بلند (LSTM) به مؤلفه غیر خطی اعمال می شود. نتیجه پیش بینی نهایی با بازسازی هر سری پیش بینی بدست می آید. این روش از ARMA در مشکلات خطی استفاده می کند و از LSTM برای شناسایی و انتزاع ویژگی های غیرخطی ، استخراج قوانین حرکتی اجزای پنهان در سری های زمانی و بهبود دقت پیش بینی استفاده می کند. از این رو ، روش پیشنهادی ما به عنوان کال (Ceemdan-arma-lStm) گفته می شود. در مدل CAL ، تجزیه توالی CEEMDAN می تواند پیچیدگی سری های زمانی را کاهش دهد و توالی هایی که از آزمون ثابت بودن ADF عبور می کنند ، روند خطی قابل توجهی دارند. بنابراین ، ما از ARMA برای پیش بینی داده های قسمت خطی استفاده می کنیم و از هدر رفتن اطلاعات مؤثر ناشی از عملکرد دیفرانسیل جلوگیری می کنیم.

مدل ترکیبی ترکیبی از روش های خطی و غیر خطی دارای مزایای زیادی در پیش بینی سری های زمانی است [4]. مرجع.[5] یک مدل پیش بینی سری زمانی ترکیبی را پیشنهاد کرد که باقیمانده تولید شده توسط میانگین متحرک یکپارچه خودرگرسیون (ARIMA)، ترکیبی از تفاوت ها در یک سری زمانی غیر ثابت با ARMA، به عنوان ورودی LSTM برای برازش است. مدل ARIMA-LSTM به نتایج پیش بینی دقیق تری نسبت به مدل های منفرد LSTM و ARIMA دست یافته است. یک فیلتر میانگین متحرک برای تجزیه یک سری زمانی به اجزای خطی و غیر خطی استفاده شد [6]. ARIMA و شبکه عصبی مصنوعی (ANN) به ترتیب برای مدل سازی داده های با نوسان کم و زیاد استفاده شدند. این مدل هیبریدی ARIMA-ANN می تواند به نتایج پیش بینی خوبی دست یابد. هر مدل ترکیبی در ادبیات، مدل های خطی و غیرخطی را به روش های مختلف ترکیب می کند و دیدگاه های متفاوتی را برای پیش بینی داده های سری زمانی ارائه می دهد. با این حال، این روش ها دارای محدودیت هایی هستند که توالی خطای تولید شده توسط یک مدل خطی غیرخطی فرض می شود [5]، و دنباله اصلی به اجزای خطی و غیرخطی منفرد تجزیه می شود، که نمی تواند ویژگی های داخلی یک مدل را استخراج کند. سری زمانی بسیار پیچیده [6].

مدل پیشنهادی ما می تواند سری های زمانی اصلی را به درستی تجزیه کند، و مدل های ARMA و LSTM اعمال می شوند، که بر عیوب مفروضات قوی [5] و تجزیه ناکافی [6] غلبه می کند. ما اثربخشی مدل خود را بر چهار شاخص بازار سهام تأیید می کنیم. نتایج تجربی نشان می دهد که مدل پیشنهادی از دقت پیش بینی بالاتری نسبت به هفت مدل مرجع بر روی این شاخص ها برخوردار است. مشارکت های اصلی این مطالعه به شرح زیر خلاصه می شود:

از مزایای CEEMDAN برای تجزیه داده های متوالی پیچیده اصلی به روندهای مقیاس های مختلف استفاده می شود. این امر پیچیدگی سری های زمانی اصلی را برای استخراج ویژگی های انتزاعی و عمیق کاهش می دهد.

روش تست ADF به طور موثر مدل های خطی و غیر خطی را ترکیب می کند. این روش می تواند در مورد ثابت بودن داده ها قضاوت کند. روش پیش بینی خطی ARMA برای سری های زمانی ثابت و از روش پیش بینی غیرخطی LSTM برای سری های زمانی ناپایدار استفاده می شود.

مدل CAL پیشنهادی با واحدهای مکرر LSTM ، دروازه (GRU) ، LSTM دو جهته (BI-LSTM) ، مدل های ARIMA و Hybrid EMD-ARMA-LSTM ، CEEMDAN-LSTM [7] و ARIMA-ANN مقایسه می شود.[6] مدل ها. آزمایشات روی مجموعه داده های مختلف نشان می دهد که مدل CAL از مدل های ترکیبی سنتی ، مدل یادگیری عمیق و مدلهای جزء جداگانه آنها بهتر است.

باقیمانده این مقاله به شرح زیر سازماندهی شده است. بخش 2 کار مرتبط را خلاصه می کند. بخش 3 مدل CAL پیشنهادی را معرفی می کند. بخش 4 به طور تجربی روش پیشنهادی را در مجموعه داده های شاخص سهام واقعی ارزیابی می کند. بخش 5 مقاله را خلاصه می کند و به مسیرهای تحقیق آینده اشاره می کند.

2. کار مرتبط

تجزیه و تحلیل سری زمانی ابزاری مهم در بسیاری از روشهای پیش بینی بازار سهام است و با تجزیه و تحلیل نکات مشاهده شده در این سری پیش بینی ها را انجام می دهد. به عنوان یکی از روشهای پیش بینی سری زمانی خطی ، مدل ARIMA [8] مدل های خودگردان (AR) و میانگین متحرک (MA) را ادغام می کند. فرض بر این است که پیش بینی های آینده وابستگی خطی به مقادیر داده های فعلی و گذشته دارند. بنابراین ، Arima فقط می تواند داده های سری زمانی ثابت خطی را در خود جای دهد. سری زمانی غیر ثابت ممکن است به طور مؤثر مدل نشود.

یادگیری عمیق می تواند بر محدودیت های مدلهای خطی سنتی ، مانند توانایی اتصالات ضعیف و توانایی استخراج ویژگی ضعیف با داده های غیرخطی ، غلبه کند و به تدریج به یک روش اصلی تحقیق در پیش بینی سهام تبدیل شده است. برخی از مدل های یادگیری عمیق ، مانند شبکه های عصبی حلقوی (CNN) ، می توانند روابط غیر خطی را شناسایی کرده و اطلاعات پنهان را از داده ها استخراج کنند. LSTM می تواند اطلاعات تاریخی طولانی را حفظ کرده و در مشکلات یادگیری الگوی متوالی به دقت پیش بینی بالایی برسد. نیازی به انتخاب ویژگی ها به صورت دستی ندارد [9] و عملکرد برتر از شبکه عصبی Feedforward (FNN) [10] ، یک شبکه عصبی عمیق (DNN) [11] و دستگاه های بردار پشتیبانی (SVM) [12]بشراگرچه یادگیری عمیق برخی از مشکلات پیچیده را مدل می کند ، اما مدل خطی سنتی هنوز هم مزایایی دارد. به عنوان مثال ، روش رگرسیون گاهی اوقات عملکرد پیش بینی بهتری نسبت به یادگیری عمیق در پیش بینی سیستم قدرت دارد [13،14].

بر اساس تجزیه و تحلیل فوق ، هیچ مدل فردی در هر شرایطی قابل استفاده نیست. در یک مشکل عملی ، مدل مناسب به ویژگی های مجموعه داده بستگی دارد. با این حال ، در پیش بینی سری زمانی ، تعیین اینکه آیا داده ها خطی هستند یا غیر خطی ، به ویژه هنگامی که چندین مؤلفه خطی یا غیر خطی وجود دارد ، دشوار است ، انتخاب یک مدل پیش بینی مناسب را دشوار می کند.

تکنیک های مختلف ترکیبی از نقاط قوت منحصر به فرد هر دو نوع مدل برای بهبود موثر عملکرد پیش بینی بهره می برد [4،5،6]. مرجع.[15] Arima و SVM ترکیبی ، که نشان داد مدل ترکیبی بهتر از هر یک از اجزای آن در پیش بینی قیمت سهام است. LSTM و یک مدل ناهمگونی مشروط اتوگرافی (GARCH) برای پیش بینی نوسانات قیمت سهام ، با نتایج نسبتاً دقیق ترکیب شدند [16]. مرجع.[17] یک مدل ترکیبی ARIMA-ANN را برای بهبود پیش بینی های سری زمانی ارائه داد که یک سری زمانی دارای اجزای خطی و غیر خطی است. مرجع.[18] برای پیش بینی بازده شاخص سهام ، سه مدل ترکیبی مختلف با ترکیب مدل های خطی ARIMA و غیرخطی مانند مدل های SVM ، ANN و Random Forest (RF) ایجاد کرد. نتایج تجربی نشان داد که مدل ترکیبی ARIMA-SVM به بالاترین دقت و بهترین بازده رسیده است.

3. مدل پیش بینی شاخص سهام

3. 1مدل های مرتبط

3. 1. 1. کیمدان

تجزیه حالت تجربی (EMD) [19] می تواند داده های سری زمانی را با توجه به مقیاس زمانی خود بدون ایجاد عملکرد پایه ، برای درمان مؤثر داده های غیر خطی و ناپایدار ، به زیر مجموعه ها تجزیه کند. با این حال ، آلیاژ حالت می تواند در طی تجزیه داده های EMD رخ دهد. تجزیه حالت تجربی گروه (EEMD) این مشکل را برطرف می کند اما پس از معرفی سر و صدای سفید گاوسی نمی تواند خطای بازسازی را به طور کامل از بین ببرد [7]. در فرآیند تجزیه ، Ceemdan به طور تطبیقی سر و صدای سفید را اضافه می کند تا از اختلاط حالت EMD جلوگیری شود و خطای بازسازی را به دلیل سر و صدا برطرف می کند. پیش بینی قیمت سهام توسط چندین عامل تحت تأثیر قرار می گیرد و یک مدل پیچیده غیر خطی است. مؤلفه های Ceemdan نسبتاً ساده است. از این رو ، پیش بینی های دقیق تری می توان بدست آورد.

3. 1. 2. LSTM

به عنوان یک شبکه ویژه عصبی مکرر ، LSTM مشکل ناپدید شدن شیب و انفجار در فرآیند آموزش توالی های طولانی را حل می کند و ساختار شبکه ای پیچیده تری دارد. LSTM یک حالت سلولی را معرفی می کند و دروازه های فراموشی ، ورودی و خروجی را برای دور انداختن ، حفظ و به روزرسانی اطلاعات ترکیب می کند. خروجی مدل توسط چندین کارکرد شامل برخی از عملیات جمع بندی محاسبه می شود ، بنابراین تولید مشکلات ناپدید شدن شیب و انفجار در فرآیند بازگشت به کار ساده نیست. LSTM در برخی از مشکلات مربوط به سری های زمانی ، مانند پیش بینی سری زمانی صنعتی [20] و ترجمه متن [21] مزایایی دارد. ما این مدل را به عنوان قسمت غیرخطی از پیش بینی سری زمان می گیریم.

3. 1. 3. ارما

ARMA یک روش متوالی خطی است که آینده را مطابق با داده های تاریخی و فعلی پیش بینی می کند. پیش بینی داده های ARMA باید الزامات ثابت بودن را برآورده کند. در عمل ، روند و تناوبی اغلب در بسیاری از مجموعه داده ها وجود دارد ، بنابراین نیاز به حذف این اثرات قبل از استفاده از چنین مدل هایی وجود دارد. حذف به طور معمول با استفاده از یک مرحله تفاوت اولیه در مدل انجام می شود و مدل به یک مدل ARIMA تبدیل می شود. بنابراین ، Ariam را می توان به عنوان یک نسخه پیشرفته از ARMA مشاهده کرد. این برنامه طیف گسترده تری از برنامه ها دارد اما مقدار مشخصی از دست دادن اطلاعات.

3. 2مدل پیشنهادی

به طور گسترده ای پذیرفته شده است که بازار مالی پیچیده و پویا است ، که خواستار حذف نویز یا تجزیه سری زمانی است. برای این منظور ، از یک روش تجزیه چند مقیاس به نام CEEMDAN در مدل ما استفاده می شود. اجزای تجزیه شده مقیاس های مختلفی دارند. ARMA و LSTM به عنوان ماژول های پیش بینی خطی و غیر خطی برای بهره برداری از مزایای مربوطه مورد استفاده قرار می گیرند. بنابراین ، یک مدل ARMA-LSTM ترکیبی برای پیش بینی سری زمانی بر اساس CEEMDAN ارائه شده است ، که Cal (Ceemdan-arma-LSTM) نامیده می شود. Ceemdan می تواند به طور تطبیقی یک سری زمانی را تجزیه کند و یک سری صندوق بین المللی پول و باقیمانده با مقیاس های مختلف مشخصه ارائه دهد. اصل تجزیه توسط

s (t) = ∑ i = 1 n i m f i (t) + r e s (t) ،

جایی که S (t) داده های سری زمانی داده شده را نشان می دهد. i m f i (t) (i = 1 ، 2 ،… ، n) نشانگر صندوق بین المللی پول است. و Res (t) باقیمانده است. هر صندوق بین المللی پول و باقیمانده مقیاس زمانی مشخصه محلی خود را دارد. یک توالی کم حجم حاوی ویژگی های خطی بیشتری است و ARMA برای پردازش مناسب تر است. یک دنباله با استحکام بالا می تواند غیر خطی در نظر گرفته شود ، که مناسب LSTM است. ما به روشی نیاز داریم تا اجزای خطی و غیرخطی را جدا کنیم و آنها را به ARMA و LSTM تغذیه کنیم.

هر مدل ترکیبی دیدگاه های خاص خود را به تجزیه سری زمانی می رساند. ما از یک روش ADF آماری برای جدا کردن اجزای خطی و غیرخطی استفاده می کنیم. آزمایش ADF می تواند مشخص کند که آیا یک سری زمانی ثابت است یا خیر. وجود ریشه واحد در یک دنباله نشان می دهد که یک سری ناپایدار است. یک نتیجه آزمون ADF منفی تر نشان دهنده داده های پایدار تر است ، و 0. 05 یک آستانه پذیرفته شده برای قضاوت در مورد ثبات یک مجموعه داده است که می تواند برای جدا کردن توالی های خطی و غیر خطی استفاده شود [4].

s (t) = ∑ i = 1 m l i + ∑ i = m + 1 n + 1 n i.

یک تست ثابت ADF سری زمانی را که توسط Ceemdan در معادله (2) تجزیه شده است ، جدا می کند ، جایی که L I و N I به ترتیب اجزای خطی و غیرخطی را نشان می دهد.

l t = g (l t - 1 ، l t - 2 ،… ، l t - p ، ε t - 1 ، ε t - 2 ،… ، ε t - q).

به ترتیب پس از اجزای خطی و غیر خطی. فرآیند مدل سازی ARMA توسط معادله (3) شرح داده شده است ، جایی که l t - 1 تا l t - p مقادیر دنباله زمانی روزهای گذشته است ، ε t - 1 تا ε t - q خطای تصادفی مربوطه را نشان می دهد ، و g خطی استعملکرد ARMA. از معادله (3) مشاهده می شود که نتایج مربوط به مقادیر پی در پی و خطاهای تصادفی در یک دوره زمانی گذشته است ، بنابراین می توان نتیجه گرفت که روند پیش بینی آن می تواند تداوم دنباله اصلی را در زمان منعکس کند.

LSTM می تواند ویژگی های سری زمانی غیرخطی را که ما برای متناسب با توالی های غیر ثابت استفاده می کنیم ، معدن کنداز روزهای مشاهده شده توسط مدل ، یعنی ، تا چه اندازه به موقع برمی گردیم. نتایج پیش بینی قطعات خطی و غیرخطی توسط مدلهای مربوطه بدست می آید و پیش بینی نهایی ادغام قطعات خطی و غیرخطی در معادله (5) است ، جایی که y (t) پیش بینی های نهایی را نشان می دهد.

n t = f (n t - 1 ، n t - 2 ،… ، n t - a) ، y t = ∑ i = 1 m l i + ∑ i = m + 1 n + 1 n i.

به طور خلاصه ، پیش بینی مدل CAL شامل تجزیه سری زمانی ، یک تست ثابت ADF ، اتصالات مدل و ادغام نتایج است. شکل 1 مدل پیش بینی را نشان می دهد ، جایی که IMF 1-IMF N اجزای IMF پس از تجزیه سری زمانی هستند و R E S باقی مانده است. arma 1-arma m نشان می دهد که توالی M از تست ADF عبور می کند و با استفاده از ARMA تعبیه شده است ، و LSTM (M + 1) -lStm (N + 1) توالی N-M + 1 را نشان می دهد که آزمایش ADF را انجام می دهند و مدل می شوندتوسط LSTMمراحل مدل ترکیبی پیشنهادی به شرح زیر است.

با توجه به تجزیه سری زمانی ، با استفاده از یک روش CEEMDAN (معادله (1)) ، داده های سری زمانی به صندوق بین المللی پول و باقیمانده تجزیه می شوند. مؤلفه ها می توانند کم و بیش بی ثبات باشند.

توالی با ثبات مختلف توسط یک آزمون ثابت ADF (معادله (2)) از هم جدا می شوند.

مؤلفه های کم و زیاد با کمبود به ترتیب توسط ARMA (معادله (3)) و LSTM (معادله (4)) نصب شده اند.

نتیجه نهایی مجموع پیش بینی های هر مؤلفه (معادله (5)) است.

مدل پیش بینی شاخص بازار سهام.

4- نتایج و بحث های تجربی

در این بخش ، ما به طور تجربی توانایی پیش بینی مدل CAL را ارائه می دهیم. در بخش 4. 1 ، مجموعه داده های مورد استفاده در آزمایش ها معرفی می شوند. در بخش 4. 2 و بخش 4. 3 ، معیارهای ارزیابی و تنظیمات پارامتر در آزمایش به ترتیب مورد بحث قرار گرفته است. نتایج تجزیه EMD و CEEMDAN در بخش 4. 4 مقایسه شده است. مدل های مقایسه در بخش 4. 5 ذکر شده است. اثرات پیش بینی شده مدل Cal و سایر روش های مقایسه ای در بخش 4. 6 ارزیابی می شود.

4. 1مجموعه داده ها

ما از پیش بینی یک مرحله ای برای تأیید صحت پیش بینی مدل CAL پیشنهادی در چهار شاخص اصلی سهام جهانی استفاده می کنیم: Deutscher Aktien (Dax) ، Hang Seng (HSI) ، 500 استاندارد و Poor's 500 (S& P500) و بورس اوراق بهادار شانگهای(SSE). اینها نمایندگی شدیدی در بازار مالی جهانی دارند و می توانند تغییرات بازار سهام را منعکس کنند ، که ارزش تحقیق زیادی دارد. شاخص های بازار سهام تحت تأثیر سیاست های ملی ، محیط های بازار و سایر عوامل دارای ویژگی های مختلف قرار دارند. تحقیقات در مورد شاخص های بازار سهام در بازارهای مختلف مالی می تواند دقت پیش بینی مدل را بررسی کند.

مجموعه داده از Yahoo! دارایی، مالیه، سرمایه گذاری. محدوده هر شاخص سهام از 13 دسامبر 2007 تا 12 دسامبر 2020 است و قیمت پایانی روزانه به عنوان موضوع تحقیق انتخاب شده است. 90 درصد اول مجموعه داده در ترتیب زمانی هر شاخص سهام به عنوان مجموعه آموزشی و 10 درصد آخر به عنوان مجموعه آزمایشی استفاده می شود. فقط از داده های روزهای معاملاتی برای تحقیق استفاده می شود.

تجزیه و تحلیل آماری هر شاخص سهام در جدول 1 نشان داده شده است، جایی که مقدار داده های موجود در هر شاخص بورس و همچنین میانگین، حداکثر، حداقل، انحراف استاندارد و نتایج آزمون ADF شاخص بسته شدن را تعیین می کنیم. همانطور که از جدول 1 مشاهده می شود، یک شکاف بزرگ بین مقادیر حداکثر و حداقل و یک انحراف معیار بزرگ وجود دارد که نشان می دهد این شاخص های بسته شدن دارای نوسانات زیادی در محدوده تحقیق هستند. علاوه بر این، نتایج آزمایش ADF DAX و S& P500 بیشتر از آستانه 0. 05 است، که نشان می دهد مجموعه داده بسیار فرار و غیر ثابت است. SSE تا حدودی پایدارتر از سه مجموعه داده دیگر است. شکل 2 تغییر متوالی شاخص بسته شدن را در محدوده مورد مطالعه نشان می دهد که از آن مشاهده می شود که چهار شاخص همگی دارای نوسانات و بی ثباتی زیادی در کوتاه مدت هستند.